Spectral and scattering theory with microlocal and semiclassical methods

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超局所解析の手法を用いた、シュレディンガー方程式を中心とする量子力学の方程式、作用素に関する研究を行った。具体的な研究成果について、以下に概略を 述べる。(1) 一般的な量子力学のハミルトン作用素は、空間変数に関する偏微分作用素であり、楕円型である場合がほとんどである。一方、時間を含むシュレディンガー作用素、クライン・ゴルドン作用素などを時空間上の作用素と考えると、形式的に自己共役作用素であるが、楕円型作用素ではない。特に時空間上の（変数係数）クライン・ゴルドン作用素は、一般相対論的な場の理論の構成で用いられるファインマン時間発展作用素の存在に関わり、近年盛んに研究されている。研究代表者は平良晃一（立命館大学）との共同研究で、漸近的にミンコフスキー的な空間の場合のクライン・ゴルドン作用素の本質的自己共役性の新しい簡明な証明、漸近的に定常的なコンパクト空間の場合の自己共役性の証明に成功し、論文を出版した。この分野に関しては、多くの未解決問題があり、さらに研究を継続中である。(2) 格子上の量子力学系、特にシュレディンガー型作用素の連続極限の問題とは、格子間隔を0に近づけた場合に、何らかの意味で連続空間上の偏微分作用素に収束する、という性質を示すことである。正方格子上の離散シュレディンガー作用素の連続極限については、2021年に出版された研究代表者と只野之英（東京理科大）の共同研究において拡張されたノルム・レゾルベント収束が証明され、新たな研究領域として発展しつつある。研究代表者、只野、P .Exner（チェコ科学アカデミー）の共同研究で得られた量子グラフの場合に引き続き、三角格子を含む一般の格子状のシュレディンガー作用素の場合、グラフェンを記述する六角格子の場合、また離散ディラック作用素の場合などについての研究成果を得て、論文を準備中である。