Sharp bound of the spectral gap for particle systems

本研究の主目的であるzero-range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究の拡張に関して、制約はつくものの、満足のできる結果を得ることができた。より詳しく述べると、以下のようなものである。既存研究である Landim-Sethurman-Varadhan らによる研究では「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」「1点関数のスペクトルギャップの評価」「漸化式の構成およびその一般項の評価」に分割できるが、「1点関数のスペクトルギャップの評価」に関しては１年目に期待される良い結果を得られている。２年目である本年度は「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」を研究したが、そもそも既存研究においては、期待される（得られる）スペクトルギャップは粒子数密度には依存しない。それに対して本研究で取り扱うものは期待されるスペクトルギャップが粒子数密度に依存する。マルチンゲール法を適用するにあたって、ヘルダー型の関数不等式を適用する必要があるが、既存研究においては粒子数密度に依存しないため、ヘルダー型の関数不等式を適用すれば、期待する結果を得られていたのに対して、粒子数密度に依存する場合にヘルダー型の不等式を適用すると、期待する結果を得ることができない。これに対して本研究ではヘルダー型の不等式を使わずに、モデルの特性を活用して評価をすることにより、マルチンゲール法を適用可能になり、その結果「漸化式の構成およびその一般項の評価」もクリアすることができ、粒子数密度に依存したスペクトルギャップの評価をすることが可能になった。ただしモデルの特性を活用するため、制約条件が必要となる。

本研究の主目的であるzero-range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究の拡張に関して、制約はつくものの、満足のできる結果を得ることができた。より詳しく述べると、以下のようなものである。既存研究である Landim-Sethurman-Varadhan らによる研究では「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」「1点関数のスペクトルギャップの評価」「漸化式の構成およびその一般項の評価」に分割できるが、「1点関数のスペクトルギャップの評価」に関しては１年目に期待される良い結果を得られている。２年目である本年度は「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」を研究したが、そもそも既存研究においては、期待される（得られる）スペクトルギャップは粒子数密度には依存しない。それに対して本研究で取り扱うものは期待されるスペクトルギャップが粒子数密度に依存する。マルチンゲール法を適用するにあたって、ヘルダー型の関数不等式を適用する必要があるが、既存研究においては粒子数密度に依存しないため、ヘルダー型の関数不等式を適用すれば、期待する結果を得られていたのに対して、粒子数密度に依存する場合にヘルダー型の不等式を適用すると、期待する結果を得ることができない。これに対して本研究ではヘルダー型の不等式を使わずに、モデルの特性を活用して評価をすることにより、マルチンゲール法を適用可能になり、その結果「漸化式の構成およびその一般項の評価」もクリアすることができ、粒子数密度に依存したスペクトルギャップの評価をすることが可能になった。ただしモデルの特性を活用するため、制約条件が必要となる。