Quantitative research on stochastic processes in random media

本年度はまず，Stefan junk氏と共同で研究していた向きづけられた高分子模型の零温度極限とパーコレーションにおける路の数の関係に関する研究を完結させ，学術誌に公表することができた．この研究では測度の集中現象を利用することで，有限体積自由エネルギーの熱力学極限での収束の速さを制御することが重要なステップであるが，パーコレーション特有の摂動に関する特異性が障害になって，既存の結果を直接適用することができないところに困難があった．これを，ランダム媒質の一部に独立なコピーを挿入し，その影響をパーコレーション特有の大偏差評価によって抑え込むことで解決した．技術的にも先例のない方法であり，ランダムグラフの他の問題にも役立つのではないかと思われる．次にDavid Croydon氏，Stefan junk氏と共同でMott variable range hoppingと呼ばれる，ランダム媒質中のランダムウォークの研究を行った．この模型はAnderson局在を呈する媒質の中での電子の稀な移動を表すものであり，高次元では拡散的スケーリングの下でBrown運動に収束することが，先行研究で示されている．一方で一次元のあるパラメータ領域では拡散的なスケーリングでの極限が退化することが知られていた．この研究では，劣拡散的なスケーリング指数を決定し，さらに確率過程の法則収束の意味で極限過程を決定した．この研究の直前に，少し単純な模型に対してはQuentin BergerとMichele Salviが類似の結果を示しているが，我々の方法はランダムなグラフを電気回路と見なしたときの有効抵抗を距離として，そのGromov-Hausdorff収束を示すというもので，より洗練されたものと言える．

本年度はまず，Stefan junk氏と共同で研究していた向きづけられた高分子模型の零温度極限とパーコレーションにおける路の数の関係に関する研究を完結させ，学術誌に公表することができた．この研究では測度の集中現象を利用することで，有限体積自由エネルギーの熱力学極限での収束の速さを制御することが重要なステップであるが，パーコレーション特有の摂動に関する特異性が障害になって，既存の結果を直接適用することができないところに困難があった．これを，ランダム媒質の一部に独立なコピーを挿入し，その影響をパーコレーション特有の大偏差評価によって抑え込むことで解決した．技術的にも先例のない方法であり，ランダムグラフの他の問題にも役立つのではないかと思われる．次にDavid Croydon氏，Stefan junk氏と共同でMott variable range hoppingと呼ばれる，ランダム媒質中のランダムウォークの研究を行った．この模型はAnderson局在を呈する媒質の中での電子の稀な移動を表すものであり，高次元では拡散的スケーリングの下でBrown運動に収束することが，先行研究で示されている．一方で一次元のあるパラメータ領域では拡散的なスケーリングでの極限が退化することが知られていた．この研究では，劣拡散的なスケーリング指数を決定し，さらに確率過程の法則収束の意味で極限過程を決定した．この研究の直前に，少し単純な模型に対してはQuentin BergerとMichele Salviが類似の結果を示しているが，我々の方法はランダムなグラフを電気回路と見なしたときの有効抵抗を距離として，そのGromov-Hausdorff収束を示すというもので，より洗練されたものと言える．