Research on stochastic processes in random media

まず向きづけられたパーコレーションの路の数の問題について，関連する高分子模型の零温度極限として理解できるという結果の証明を完成させ，学術誌に投稿した．とくにこのことから増大度を表す指数が，モデルのパラメータについて連続であるという重要な結果が従う．これは先行研究をおこなったフランスのグループ（Garet-Gouere-Marchand）が論文中に未解決問題として残した問題であり，申請時の研究目的の中で最も重要な課題であった．高分子模型についてはさらに特別研究員は「媒質の影響が弱い相」と呼ばれる温度領域の，分配関数のモーメントに基づく新しい特徴づけを得た．これはある意味で空間構造を単純化したモデルでは知られていた結果であるが，本来のモデルで確立するには全く新しい手法が必要となった．さらに，そこで使われた手法を応用して高分子の単点に関する中心極限定理の新しい証明や，分配関数と対応する確率熱方程式の解の漸近挙動について，これまで全く未解明であった相における最初の結果を得た．次にMott random walkと呼ばれるランダム媒質中のランダムウォークの模型についても並行して研究を行った．こちらは前年度までに研究した場合よりもさらに特異性が高い場合について研究し，そのスケール極限を以下の二つの意味で決定した：1．ランダムウォークの訪問点が極値統計理論に現れるある確率過程で表せること，2．固定した時刻での分布が，ランダムウォークのそれまでの最大値と最小値の間に一様分布すること．

まず向きづけられたパーコレーションの路の数の問題について，関連する高分子模型の零温度極限として理解できるという結果の証明を完成させ，学術誌に投稿した．とくにこのことから増大度を表す指数が，モデルのパラメータについて連続であるという重要な結果が従う．これは先行研究をおこなったフランスのグループ（Garet-Gouere-Marchand）が論文中に未解決問題として残した問題であり，申請時の研究目的の中で最も重要な課題であった．高分子模型についてはさらに特別研究員は「媒質の影響が弱い相」と呼ばれる温度領域の，分配関数のモーメントに基づく新しい特徴づけを得た．これはある意味で空間構造を単純化したモデルでは知られていた結果であるが，本来のモデルで確立するには全く新しい手法が必要となった．さらに，そこで使われた手法を応用して高分子の単点に関する中心極限定理の新しい証明や，分配関数と対応する確率熱方程式の解の漸近挙動について，これまで全く未解明であった相における最初の結果を得た．次にMott random walkと呼ばれるランダム媒質中のランダムウォークの模型についても並行して研究を行った．こちらは前年度までに研究した場合よりもさらに特異性が高い場合について研究し，そのスケール極限を以下の二つの意味で決定した：1．ランダムウォークの訪問点が極値統計理論に現れるある確率過程で表せること，2．固定した時刻での分布が，ランダムウォークのそれまでの最大値と最小値の間に一様分布すること．