Construction of the explicit theory of the Abelian functions based on the multivariable sigma functions

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(1) 平面テレスコピック曲線に付随するシグマ関数のべき級数展開はフルビッツ整という良い性質を持つことが知られている。昨年度、この結果を一般のテレスコピック曲線に拡張した。本年度はこの内容を論文にまとめ、arXivに掲載し、数学の専門誌に投稿した。テレスコピック曲線のシグマ関数のべき級数展開の係数は代数曲線の定義方程式の係数の有理数係数の多項式になる。上記の結果は、この結果の精密化と見なせる。シグマ関数のこの代数的性質により、曲線の定義方程式の係数の連続的な変形により曲線を退化させたとき、シグマ関数は極限を持つ。これは可積分系などの分野で重要になる。(2) 種数2の超楕円積分の逆問題の解を与える2つの2変数有理型関数が知られている。これらの関数は複素2次元空間全体では一致しないが、シグマ関数の零点集合上では一致する。多変数複素関数の一般論より、これらの関数の差はシグマ関数と有理型関数の積に分解できると期待される。昨年度、この分解を明示的に記述した。本年度はこの内容に関する論文を執筆し、現在校正を行っている。(3) 本年度は、種数3の超楕円曲線から楕円曲線への次数2の射が存在するとき、種数3の超楕円関数を種数2の超楕円関数と楕円関数で明示的に表示した。この内容の論文を現在準備中である。超楕円関数はKdV方程式などの数理物理の基礎方程式を満たすことが知られている。種数2以上の超楕円関数については、楕円関数ほど多くのことは分かっていない。超楕円関数を楕円関数で表示できれば、超楕円関数の具体的な数値をMathematicaやMapleなどを用いて計算することが可能となる。これは数理物理などで重要になる。