代数曲線の有限体有理点の個数を高速に計算する

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楕円シグマ関数の重要な性質の一つに原点における級数展開の係数が曲線の定義方程式の係数の同次多項式になるということがある。即ち、シグマ関数は曲線の定義方程式の係数から直接構成可能である。この代数的性質により、シグマ関数は可積分系の解の研究において重要な役割を果たすことが知られている。この観点から、Kleinは超楕円曲線にまで、Buchstaber,Enolskii,Leykinは(n,s)曲線と呼ばれる平面代数曲線にまでシグマ関数を一般化した。本研究では、さらにtelescopic曲線にまでシグマ関数を一般化した。この結果については本年度、数学の専門誌への掲載が確定した。また、中屋敷厚氏との共同研究において、(n,s)曲線における中屋敷氏の結果を一般化し、telescopic曲線に対するシグマ関数の加法公式を導出した。また、統計数学における判別分析についても研究した。近年、マイクロアレイ解析などの分野で、データの次元数が標本数より遥かに大きい高次元小標本データが解析対象になる場面が増えており、統計数学の分野では、データの次元数が無限大に行ったときの漸近的な性質が盛んに検討されている。Ingsterらは、2つの分布の分散共分散行列が等しいとき、どのような判別手法を用いてもうまく判別出来ないような分布に関する必要十分条件を導出している。本研究では、必要十分条件までは得られていないが、2つの分布の分散共分散行列が異なるときに、どのような判別手法を用いてもうまく判別出来ないような分布に対するreasonableな十分条件を得た(鈴木譲氏との共同研究)。本研究の結果は、マイクロアレイ解析などの分野で、コストのかかる実験をする価値があるかどうかを前もって判断するための一つの指針を与えることが出来る。この結果については電子情報通信学会の論文誌に掲載された。