Study on variational level set method for evolution of spirals by crystalline curvature flow

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数学解析の研究では、有界区間上定義された関数のグラフがクリスタライン曲率にしたがって時間発展する発展方程式に、境界にてグラフの傾きを定める接触角条件を与えた境界値問題について考察した。これについて、粘性解理論に基づく弱解の比較原理および大域解の存在について考察し、その過程で解がみたすべき境界条件について検討を行った。クリスタライン曲率は多角形型曲線の辺の長さを用いて定める曲率であるが、これを境界値問題で考察すると、領域の境界に接触している辺の長さをどのように定めるかが問題となる。候補としては、境界に接触した辺について、(1)境界の外に無限の長さの辺が続く、(2)境界で線対象となっているものとみなす、(3)境界の接点から頂点までの部分のみを辺とする、の3つの候補があり、将来考えるスパイラル成長問題の観点およびその数値計算実験から、(3)に基づいて弱解の定義を構成すべきであるとの結論に至った。比較原理や弱解の存在などの解析については現在進行中である。変分型等高線法の研究については、本年度までに行った数値解析の結果について再検討を行い、論文にまとめる作業を行った。その過程で、常微分方程式系による離散モデルと変分型等高線法によるそれぞれの解の違いについて、2019年の拙著論文に基づき、2本の曲線で挟まれた領域の面積を計算する面積差の方法から評価を行った。離散モデルと変分型等高線法では、とくに渦巻の中心付近での運動法則が異なるため、その分が面積差に現れるであろうと考えていたが、数値計算実験における空間格子点を細分化することで、数値計算実験の範囲では面積差が減少するという数値計算の結果を得た。加えて、バンチング現象の例である幻視スパイラル・幻視ループの数値計算実験について、2019年度に行った口頭発表の内容の再検討を行った。