Application of saturated structures to the study of finite model theory

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モデル理論において，独立性概念の研究は重要な分野を形成している．数学的に重要な代数的独立性，線形独立性などは，別個のものとしてではなく，モデル理論的独立性の特別な場合として統一的に扱うことができる．独立性概念は技術的には，その否定，すなわち従属性概念の否定によって表現される．最初にdividingの意味での従属性が定義され，forkingの意味での従属性はdividingを通して定義される（forkするとは，有限個のdivideする論理式で被覆されること）．この二つの従属性は，安定な理論，単純な理論では一致することが知られている．またこの分野の最近の研究により，それ以外の重要な理論でも一致が示されている．しかし一致しないある意味例外的な理論も存在し，それらを研究することは従属性概念の研究の上で重要と思われる．今年度の研究で得られたことは，新しい例として，次を見つけたことである：(*) 3変数述語記号Rを用いてhypergraphを表現して，4面体T^4を考えるとき，T^4を排除するrandom hypergraphはSU-rank=1の単純理論を持つ．しかし4面体からRによる1面を除いた穴のあいた４面体T^{4-}も考えて，T^4およびT^{4-}の両方を排除するrandom hypergraphを構成すると，その理論は単純とはならず，forkingとdividingという二つの従属概念が異なる概念となる．今後の研究では，新たな例を見つけると同時に，二つの従属性概念が異なるための，モデル理論的に見やすい必要十分条件を発見することを目指す．