非正則モジュラー形式の視点を用いた実二次体の数論

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本年度は3件の論文執筆・修正に取り組んだ．まず，Witten-Reshetikhin-Turaev不変量に関連する葉廣級数と呼ばれるq-級数の族を考察した．このq-級数は，通常qが1の冪根のときのみ意味を持つが，いくつかの場合には，単位円盤上の正則関数を定めることもある．例えば，Poincareホモロジー球面に対する葉廣のunified WRT不変量がそうである．先行研究において，この級数の1の冪根における不連続性が観察されていたが，今回，Baileyの補題およびmock, falseの2種のテータ関数の理論を用いることで，この不連続性に一つの説明を与えることに成功した．次に，本研究課題の主題の一つとして長く取り組んでいた2つのモジュラー結び目の絡み数に関する研究に区切りをつけ，論文の受理まで至った．実二次無理数に対しモジュラー結び目が1つ定まるが，Dukeらによると，2つのモジュラー結び目の間の絡み数が有理周期関数を用いて計算される．本研究では，Parsonの重さ2の双曲型Eisenstein級数とその（新たに導入した）均質化サイクル積分を考察することで，GhysとDukeらの両方の結果に新たな共通の枠組みを与えることに成功した．最後にその他の話題として，Benyiとの共同研究において，中央二項級数の負の整数点での値の有理数部分が多重Bernoulli数の和で表示されるというStephanの観察に証明を与えることができた．