モックモジュラー形式と楕円函数の実二次類似

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本年度は，研究計画にあげた「モジュラー絡み目の絡み数」を，昨年度得られた「双曲型Eisenstein級数」と関連づけて考察を行った．2017年，Duke-Imamoglu-Tothは双曲Rademacher記号と呼ぶべき対象を導入することで，上記の絡み数を与えていた．一方でその具体的計算については皆目わからないという問題があった．これを解決するために，まず重さ2の符号付き双曲型Eisenstein級数というものを導入し，その基本性質を調べた．それを基に，双曲Rademacher記号をEisenstein級数の測地線積分の極限として表し，特に連分数を用いた簡単な明示公式を与えることに成功した．またこのEisenstein級数のFourier係数には，本研究の主目的である「楕円モジュラーj函数の実二次点での「値」」が現れるなど，興味深い現象がまだ隠れているように期待される．この双曲型Eisenstein級数はその定義からモジュラー形式とはならないが，適切に補正項を加えることで，Bringmannらの導入した局所調和Maass形式の一例となる．これは，放物/楕円/双曲の三つの型のEisenstein級数から，平行して調和/極調和/局所調和Maass形式が得られることを示している．これらの結果は既に論文としてまとめ，投稿中である．また，本研究課題と直接の関係はついていないものの，対称多重Bernoulli数についても，Dumont-Foata多項式を用いることで，その組合せ的性質を与えるような興味深い結果を得た．成果は論文としてまとめ，現在投稿中である．