局所体に対する遠アーベル幾何学の発展

(1) 2022年度は、まず（前年度から開始していた）「遠アーベル幾何的群論的性質」に関する澤田晃一郎氏、辻村昇太氏との共同研究を完成させ、プレプリントを公開した（論文投稿中）。本研究では、次のような成果を得た。遠アーベル幾何と密接に関連した群論的性質として、副有限群の強内的非分解性（＝任意の開部分群Hに対して、その非自明正規閉部分群のHにおける中心化群が自明）、エラスティック性（＝任意の開部分群の位相的に有限生成な非自明正規閉部分群は開）というものがある。辻村氏との前年度までの共同研究、及び、古典的事実により、例えば、(a)非アーベルな副有限自由群、(b)剰余標数p>0の完備離散付値体の絶対ガロア群、(c)ヒルベルト体の絶対ガロア群が強内的非分解性、エラスティック性をみたすことが知られていた。本研究では、この一般化として、(a)、(b)、(c)の概副p最大商の連正規閉部分群たちも強内的非分解性、エラスティック性をみたす、ということを示すことができた。また、「遠アーベル多様体」の代表例ともいえる、数体や（混標数）局所体上の双曲的曲線の配置空間に対し、その幾何的基本群、数論的基本群の連正規閉部分群たちも強内的非分解性をみたす、ということを示すことができた。(2) 並行して、辻村氏と共同で、（混標数）局所体に対する単遠アーベル幾何的結果の一般化に関する研究も行った（論文準備中）。特に、局所体に対する様々な代表的な単遠アーベル幾何的結果を、特定の剰余無限な（混標数）完備離散付値体のクラスの場合に一般化することに成功した。(3) また前年度に引き続き、星裕一郎氏、望月新一氏、山下剛氏と共同で、宇宙際タイヒミューラー理論のある改良版における明示的計算についての研究も行った（論文準備中）。例えば、（本研究の一つの鍵となる）ある状況下における数体上の楕円曲線の「高さ」の明示的上限を得た。

(1) 2022年度は、まず（前年度から開始していた）「遠アーベル幾何的群論的性質」に関する澤田晃一郎氏、辻村昇太氏との共同研究を完成させ、プレプリントを公開した（論文投稿中）。本研究では、次のような成果を得た。遠アーベル幾何と密接に関連した群論的性質として、副有限群の強内的非分解性（＝任意の開部分群Hに対して、その非自明正規閉部分群のHにおける中心化群が自明）、エラスティック性（＝任意の開部分群の位相的に有限生成な非自明正規閉部分群は開）というものがある。辻村氏との前年度までの共同研究、及び、古典的事実により、例えば、(a)非アーベルな副有限自由群、(b)剰余標数p>0の完備離散付値体の絶対ガロア群、(c)ヒルベルト体の絶対ガロア群が強内的非分解性、エラスティック性をみたすことが知られていた。本研究では、この一般化として、(a)、(b)、(c)の概副p最大商の連正規閉部分群たちも強内的非分解性、エラスティック性をみたす、ということを示すことができた。また、「遠アーベル多様体」の代表例ともいえる、数体や（混標数）局所体上の双曲的曲線の配置空間に対し、その幾何的基本群、数論的基本群の連正規閉部分群たちも強内的非分解性をみたす、ということを示すことができた。(2) 並行して、辻村氏と共同で、（混標数）局所体に対する単遠アーベル幾何的結果の一般化に関する研究も行った（論文準備中）。特に、局所体に対する様々な代表的な単遠アーベル幾何的結果を、特定の剰余無限な（混標数）完備離散付値体のクラスの場合に一般化することに成功した。(3) また前年度に引き続き、星裕一郎氏、望月新一氏、山下剛氏と共同で、宇宙際タイヒミューラー理論のある改良版における明示的計算についての研究も行った（論文準備中）。例えば、（本研究の一つの鍵となる）ある状況下における数体上の楕円曲線の「高さ」の明示的上限を得た。