双曲的代数曲線の数論

平成28年度は、星裕一郎氏、望月新一氏と共同で、双曲的曲線の配置空間の遠アーベル幾何について研究を行った。具体的には、例えば、以下のような結果を得た。(1) Xを標数0の代数閉体上の双曲的曲線とする。この時、Xの配置空間のエタール基本群を「入力」すると、配置空間の次元、（そして、次元が2以上の場合、）Xの種数、Xのカスプの数を「出力」するような群論的復元アルゴリズムを構成した。(2) (1)のアルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（望月新一氏、玉川安騎男氏によって示されていた）「非(0,3)、(1,1)型配置空間群のファイバー部分群の群論性」である。一方、(0,3)、(1,1)型の場合、この「群論性」については、反例があることが知られていた。それは、(0,3)、(1,1)型の場合、（高次元）配置空間から（低次元）配置空間への「射影」が増えることに起因していた。そこで我々は、この「増えた射影」を考慮に入れた、「一般化ファイバー部分群」という概念を導入した。そして、「（任意の）配置空間群の一般化ファイバー部分群の群論性」を証明した。また、この応用として、「(0,3)型（高次）配置空間群の外部自己同型群がグロタンディーク・タイヒミューラー群と対称群の直積に分解する」という大変興味深い帰結を得た。さらに、この直積分解を活用することで、グロタンディーク・タイヒミューラー群の簡明な別定義を導出することができた。(3) (1)の（特に、次元の復元の）アルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（自明な対数構造付きの）標数0の代数閉体上の平滑対数曲線の対数的配置空間の対数的充満点の概念である。このような「点」は対数的配置空間の対数的エタール基本群のある部分群（＝対数的充満部分群）を定める。我々は、対数的配置空間の次元が3以上の場合、このような部分群が群論的であることを証明した。

平成28年度は、星裕一郎氏、望月新一氏と共同で、双曲的曲線の配置空間の遠アーベル幾何について研究を行った。具体的には、例えば、以下のような結果を得た。(1) Xを標数0の代数閉体上の双曲的曲線とする。この時、Xの配置空間のエタール基本群を「入力」すると、配置空間の次元、（そして、次元が2以上の場合、）Xの種数、Xのカスプの数を「出力」するような群論的復元アルゴリズムを構成した。(2) (1)のアルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（望月新一氏、玉川安騎男氏によって示されていた）「非(0,3)、(1,1)型配置空間群のファイバー部分群の群論性」である。一方、(0,3)、(1,1)型の場合、この「群論性」については、反例があることが知られていた。それは、(0,3)、(1,1)型の場合、（高次元）配置空間から（低次元）配置空間への「射影」が増えることに起因していた。そこで我々は、この「増えた射影」を考慮に入れた、「一般化ファイバー部分群」という概念を導入した。そして、「（任意の）配置空間群の一般化ファイバー部分群の群論性」を証明した。また、この応用として、「(0,3)型（高次）配置空間群の外部自己同型群がグロタンディーク・タイヒミューラー群と対称群の直積に分解する」という大変興味深い帰結を得た。さらに、この直積分解を活用することで、グロタンディーク・タイヒミューラー群の簡明な別定義を導出することができた。(3) (1)の（特に、次元の復元の）アルゴリズムにおいて重要な役割を果たすのが、（自明な対数構造付きの）標数0の代数閉体上の平滑対数曲線の対数的配置空間の対数的充満点の概念である。このような「点」は対数的配置空間の対数的エタール基本群のある部分群（＝対数的充満部分群）を定める。我々は、対数的配置空間の次元が3以上の場合、このような部分群が群論的であることを証明した。