完備離散付値体の分岐と遠アーベル幾何学

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今年度はまず、p進局所体の絶対Galois群の間の準同型の幾何性に関する（望月新一・星裕一郎両氏による）既存の結果をベースとして、同様の問題を一般の剰余完全な混標数完備離散付値体に対して考えた。これにより、剰余体が有限体の代数拡大体であるような場合に、準同型が幾何的であるための必要十分条件を与え、さらに弱い条件の下でも弱同型版のGrothendieck予想型の結果を得た。これらの結果は論文にまとめ、公開中である。さらにこの結果を受けて、有限体の（有限次とは限らない）代数拡大体、あるいはこのような体を剰余体に持つ（標数0の）完備離散付値体は遠アーベル的に良い振舞いをする可能性があると考え、有限体の代数拡大体のKummer忠実性を検討した。その結果、有限体の代数拡大体がトーラス的Kummer忠実、あるいはKummer忠実であるための（体の絶対Galois群に関する）必要十分条件をそれぞれ与えることに成功した。さらに、今回の結果と（研究代表者による）過去の結果を組み合わせることで、Kummer忠実な有限体の代数拡大体を剰余体に持つ標数0の完備離散付値体も再びKummer忠実体であることもわかった。また、有限体の代数拡大体上の双曲的曲線のエタール基本群及びtame基本群についても研究し、後者から幾何的部分群を復元することに成功し、前者についても部分的な結果を得た。これと有限体の代数閉包上の種数0の双曲的曲線に対する弱同型版のGrothendieck予想（玉川安騎男氏による結果）を組み合わせることで、これを有限体の代数拡大体上の結果（tame版）に拡張することにも成功した。これらの結果についても論文を執筆し、公開中である。研究発表としては、今年度に投稿した研究論文が受理されたほか、受入研究機関におけるセミナーにおいて講演を行った。