大域的F正則多様体の一様有界性

対数的端末(klt)特異点や対数的標準(lc)特異点は、特異点解消の言葉を用いて定義される特異点のクラスであり、極小モデル理論において重要な役割を果たすとともに、Fano多様体やCalabi-Yau多様体とも密接な関係を持っている。標数0においては、これらの特異点は多くの良い性質を満たすことが知られている。そのような性質の一つがBertini型の定理、すなわち、与えられた標数0の射影多様体Xが、もしもklt(もしくはlc)特異点しか持たないのであれば、Xの一般の超平面切断もまたklt(もしくはlc)特異点しか持たない、という定理である。Bertini型の定理は、多くの特異点に対して成立することが知られており、また、次元に関する帰納法とも相性が良いため、特異点の研究において重要な定理である。しかし、同様の結果は正標数ではほとんど知られていなかった。今年度は、3次元で標数が3より大きい場合に、これらの特異点に関してBertini型の定理が成立することを示した。証明において鍵となったのは、代数閉体とは限らない体上の2次元多様体において、ある条件の元で、kltやlcといった性質が基礎体の拡大で保たれることを発見したことにある。これらの特異点は特異点解消を用いて定義されるが、一般には基礎体が純非分離拡大をした時に、特異点解消のbase changeが再び特異点解消になっているとは限らず、従って、kltやlcは一般には体の拡大で保たれない性質である。しかし、多様体が2次元の場合には、klt特異点やlc特異点の双対グラフに関する分類を調べることで、この問題を解消する為の十分条件が得られた。以上の結果をプレプリントとして発表した。

対数的端末(klt)特異点や対数的標準(lc)特異点は、特異点解消の言葉を用いて定義される特異点のクラスであり、極小モデル理論において重要な役割を果たすとともに、Fano多様体やCalabi-Yau多様体とも密接な関係を持っている。標数0においては、これらの特異点は多くの良い性質を満たすことが知られている。そのような性質の一つがBertini型の定理、すなわち、与えられた標数0の射影多様体Xが、もしもklt(もしくはlc)特異点しか持たないのであれば、Xの一般の超平面切断もまたklt(もしくはlc)特異点しか持たない、という定理である。Bertini型の定理は、多くの特異点に対して成立することが知られており、また、次元に関する帰納法とも相性が良いため、特異点の研究において重要な定理である。しかし、同様の結果は正標数ではほとんど知られていなかった。今年度は、3次元で標数が3より大きい場合に、これらの特異点に関してBertini型の定理が成立することを示した。証明において鍵となったのは、代数閉体とは限らない体上の2次元多様体において、ある条件の元で、kltやlcといった性質が基礎体の拡大で保たれることを発見したことにある。これらの特異点は特異点解消を用いて定義されるが、一般には基礎体が純非分離拡大をした時に、特異点解消のbase changeが再び特異点解消になっているとは限らず、従って、kltやlcは一般には体の拡大で保たれない性質である。しかし、多様体が2次元の場合には、klt特異点やlc特異点の双対グラフに関する分類を調べることで、この問題を解消する為の十分条件が得られた。以上の結果をプレプリントとして発表した。