Kontsevich不変量と結び目の可逆性

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本研究では量子不変量が結び目の可逆性を判定しうるかという問題について調べており、特に、結び目の量子不変量や(有理係数の)有限型不変量に対して普遍性を持つKontsevich不変量と呼ばれる不変量について可逆判定性を持つかどうかを明らかにすることを第一の目標としている。Kontsevich不変量が値をとる開Jacobi図の空間と呼ばれる線型空間について調べることでKontsevich不変量自体の性質を導くと言うのが本研究の方針である。二年目までの研究では当初の予定通り有理係数の開Jacobi図について調べていたが、満足な結果や有力な方針などは得られなかった。そこで今年度は有理数以外に値をとる有限型不変量も視野に入れ、有理係数以外の開Jacobi図の空間について研究を行うことにした。具体的には、開Jacobi図の空間の中で最も基本的で普遍的な整係数のものについてどのような捩れ元が存在するか、また、奇数個の一価頂点を持つような開Jacobi図で非自明なものが存在するかについて調べた。結果として、整係数の開Jacobi図の空間には任意の素数を位数とする、奇数個の一価頂点を持つような非自明な元が大量に存在することがわかり、さらにその一部については対応するような非自明な元がS^1上のJacobi図の空間に存在することも証明できた。これらは結び目の向きを捉えるような有限型不変量が存在するための必要条件となっており、特に後者についてはもしそのような元の中で捩れ元でないようなものが存在すればKontsevich不変量が結び目の向きを捉えること、すなわち十分性も従うことが知られている。残念ながらこの十分性を示す方法は見つかっていないが、例えば開Jacobi図の空間に3以上の位数を持つ元が存在するということはそれ自体が非自明であり、むしろ予想に反する結果であった。