Isotopy invariants of surface knots

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本年度ではまず前年度の研究の続きとして、交代結び目のAlexander多項式の零点に関するHosteの予想について平澤美可三先生（名古屋工業大学）・鈴木正明先生（明治大学）と共同研究を行い、前年度までに存在がわかっていた予想に対する反例を具体的に見つけることに成功した。反例の発見とそれが本当に反例であることの証明にはコンピュータを用いたが、数学的厳密さを欠くことなく証明することができた。また同様に前年度の研究の続きとして、曲面絡み目に対するMilnor不変量も、１次元絡み目に対するものと同様に、曲面絡み目のlink-cobordism不変量になっていることを証明した。別方向の研究として、ハンドル体結び目に対するカンドルを用いた不変量に関して研究を行った。特に、これまで知られていたMCQ (multiple conjugation quandle)由来の不変量を含む形で統括する、ハンドル体結び目の基本「カンドル」を定義し、さらにこれがハンドル体結び目の（種数１の場合は弱い意味での）完全不変量であることを証明した。ただしここでの「カンドル」とは通常の意味でのカンドルに、ハンドル体結び目の図式でいうところの３価頂点に対応する情報を付加したもののことである。さらに初年度から行っていたsmooth quandleについての研究を進め、本年度では特に推移的とは限らない一般のsmooth quandleについて考え、その軌道分解に現れる各軌道はLie群を用いた３つ組を用いて表されるきれいな形をしたsmooth quandleであることを示した。これは初年度に於ける推移的な場合の結果を含んでおり、その拡張と言えるものである。そのほか、トーラス絡み目の整数彩色に関する研究（市原一裕先生（日本大学）・松土恵理さん（日本大学）との共同研究）や、有限型不変量の可逆判定性に関する研究を行い、それぞれ一定の結果を得た。