gl(1|1)-quantum invariant of trivalent graphs and knot Floer homology

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Heegaard Floerホモロジーの量子トポロジー的な意味、そしてgl(1|1)-量子不変量のさまざまな側面を理解しようとするのが本研究の主な目的である。Heegaard Floerホモロジーとgl(1|1)-量子不変量の関係について、たくさんの研究が既に知られている。OzsvathとSzaboは結び目のbordered Floer theoryを構成し、Heegaard Floerホモロジーとの同値性を証明した。Manionはこのbordered Floer theoryのdecategorificationはViroが構成したgl(1|1)-量子群に対応するReshetikhin-Turaev関手と一致していることを証明した。bordered Floer theoryとgl(1|1)-量子群の更なる関係について現在も盛んに研究されている。以前の研究において、私は三価空間グラフに注目し、三価空間グラフのHeegaard Floerホモロジーのオイラー標数と三価空間グラフのgl(1|1)-Alexander多項式との関係について入念に調べた(一部はZhongtao Wu氏との共同研究) 。今年度、グリッド図式を利用してこの多項式の公式を一つ与えた。Ozsvath、Stipsicz と Szabo は結び目のグリッド図式を使って結び目の Alexander多項式を再定義し、グリッド移動における不変性も示した。HarveyとO’DonnolはOzsvathらの仕事を拡し、transverseグラフのグリッド図式を定義した。今年度Zhongtao Wuとの共同研究で、 MOYグラフ（色付き三価空間グラフ）のグリッド行列を利用して、MOY グラフのgl(1|1)-Alexander 多項式の公式を一つ与えた。