絡み目ホモロジーの位相的な応用

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平成24年度の前期,私は主に次の仕事をした.アメリカの数学者Dylan Thurston先生が東京工業大学に訪問した際(2012年4月-6月),私は「bordered Floer homology」を勉強した.Bordered Floer homologyはHeegaard Floer homologyの拡張であり,境界付き3次元多様体の不変量である.Thurston先生がこの理論を作った一人である.そして,8月までに,絡み目のnegative unknotting numberについての論文を一本書き終わった.この結果と結び目同境の関係を説明した.この論文は最近Indiana University Mathematics Journalに受理された.後期,私は主に空間グラフのFloer homologyを定義しようと努力した.この研究の目的は空間グラフのHeegaard Floer homologyを定義し、そしてその位相的な応用を考えることである.今まで次の結果を得た.GをS^3における連結なbalanced2部空間グラフとし,Gの位相不変量であるHeegaard Floe rhomologyを定義した.更に、Gに新しい辺eを加え,G'=GU{e}が2部空間グラフになることにする.辺εがGのHeegaard Floer homologyにフィルトレーションを一つ誘導することを示し,G'とGのHeegaard Floer homologyの間の関係を一つ発見した.現在この結果に関する論文を執筆中である.これから,一般の空間グラフにもHeegaard Floer homologyを定義してみたいと思う.