Geometric inequalities of dual volumes of convex bodies and properties of additions of convex bodies derived from the inequalities

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今年度は、Euclid距離のp-2乗とEuclid平面上の凸多角形の定義関数とのたたみ込みの評価を行った。一般に、Euclid距離のp-n乗とn次元Euclid空間内の有界な開集合Kの定義関数とのたたみ込みは、Kのp-n乗モーメントとよばれる。Kのp-n乗モーメントはpが正であるときに収束し、n次元Euclid空間上の関数である。今年度は、凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)の評価に取り組んだ。今年度の研究の問題意識は図形の形状決定問題にある。すなわち、Euclid平面上に凸多角形が2つ与えられたとき、それらのp-2乗モーメントの値を比べることで、それらが合同か合同でないかを判定したい。先行研究として、平面上の凸多角形Pのp-2乗モーメントのP上の積分によるPの形状決定問題が挙げられる。今年度の研究の動機は、先行研究の積分を最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)に代えた問題が成り立つかどうかである。今年度は、定理「与えられた面積をもつ正凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)は、正凸多角形の頂点の個数に関して狭義単調である」と、命題「与えられた周長をもつ正凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)は、正凸多角形の頂点の個数に関して単調とは限らない」を示した。凸多角形のp-2乗モーメントは、定数倍の差を除いて、凸多角形のp次の双対体積に等しい。この意味で、今年度の研究成果は凸多角形の双対体積の不等式ともいえる。得られた成果の学術的価値を判定するために、関係する研究の資料を購入し、関係する研究成果の概要を把握した。国際研究集会を開催し、関係する研究者との情報交換・意見交換も行った。