L関数の確率論的値分布論

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本研究の目的は、確率論的極限定理からL関数を理解することにより、先行研究の改善を行うこと、およびL関数に関係する未解決問題に極限定理を応用することである。本年度ではゼータ関数・L関数の値分布についての幾つかの結果を証明することで、この目的に対して一定の成果を得た。今年度は昨年度から引き続き、 Riemannゼータ関数のモーメント、Dirichlet L関数の臨界領域内での独立性について研究をした。Riemannゼータ関数のモーメントについては、昨年度の段階で理論的な内容は完成していたので、それを論文としてまとめた。Dirichlet L関数の臨界領域内での独立性については、昨年度では証明できていなかった、任意のr組のDirichlet L関数の同時分布の漸近公式を証明することができた。これにはDirichlet指標のある種の和の挙動を把握する必要があり、昨年度までは証明が完了していなかった。本年度の研究で、指標に係数を付け、パラメータ化した指標和を考えるという新しい手法を導入することで、本問題を解決することができた。またこの結果の系として、Mahatab-Pankowski-Vatwaniらが提示した未解決問題を、Dirichlet L関数の場合に対して解決することもできた。この結果は既にarXivで公開済みである。さらにRiemannゼータ関数の零点の虚部の分布に関する研究も今年度から開始した。これはGoldston氏から提案されたテーマで、彼から提案された問題を解決した。論文も既に執筆済みで、arXivにて公開している。