新たな構造の解空間を用いた運動論方程式の解の諸性質に関する研究

本年度は定常状態周りの非切断Boltzmann方程式の初期値問題に関して、空間領域をEuclid空間にしてFourier変換の可積分性を基にして解析を行った。空間領域がトーラスの場合、Fourier級数が絶対総和可能な関数の集合をWiener空間と呼ぶが、この関数空間で初期値問題を考えた場合Wiener空間が自然に誘導するノルムのみ十分小さければBoltzmann方程式は一意な時間大域解をもち、解は指数または劣指数関数的に定常状態へ収束する。トーラスをEuclid空間へ変えた場合、Fourier級数が絶対総和可能という条件は自然に、関数のFourier変換が可積分であるという条件に移り変わる。しかし、この積分の値が十分小さいとしても、Euclid空間上のFourier変換の周波数分解を行う際に低周波領域からの寄与を評価することができない。この困難を解消するため、Fourier変換のp乗可積分性(p>1)の小ささも初期値に仮定して、一意時間大域解の存在と定常状態への多項式減衰を示した。この減衰レートは線形化問題の解の減衰レートと比べ任意に小さい誤差を除いて等しい。本結果のように、初期条件のFourier変換のノルムに着目したBoltzmann方程式の研究は申請者と共同研究者の過去の研究で始められたばかりであり、この研究と合わせてトーラスとEuclid空間上における方程式の解の振る舞いの差異が明らかになった。これは通常のソボレフ空間を用いた先行研究では見られなかったものであり、初期条件に課す正則性の条件によって解空間がどのように異なるかということへの理解を与える。

本年度は定常状態周りの非切断Boltzmann方程式の初期値問題に関して、空間領域をEuclid空間にしてFourier変換の可積分性を基にして解析を行った。空間領域がトーラスの場合、Fourier級数が絶対総和可能な関数の集合をWiener空間と呼ぶが、この関数空間で初期値問題を考えた場合Wiener空間が自然に誘導するノルムのみ十分小さければBoltzmann方程式は一意な時間大域解をもち、解は指数または劣指数関数的に定常状態へ収束する。トーラスをEuclid空間へ変えた場合、Fourier級数が絶対総和可能という条件は自然に、関数のFourier変換が可積分であるという条件に移り変わる。しかし、この積分の値が十分小さいとしても、Euclid空間上のFourier変換の周波数分解を行う際に低周波領域からの寄与を評価することができない。この困難を解消するため、Fourier変換のp乗可積分性(p>1)の小ささも初期値に仮定して、一意時間大域解の存在と定常状態への多項式減衰を示した。この減衰レートは線形化問題の解の減衰レートと比べ任意に小さい誤差を除いて等しい。本結果のように、初期条件のFourier変換のノルムに着目したBoltzmann方程式の研究は申請者と共同研究者の過去の研究で始められたばかりであり、この研究と合わせてトーラスとEuclid空間上における方程式の解の振る舞いの差異が明らかになった。これは通常のソボレフ空間を用いた先行研究では見られなかったものであり、初期条件に課す正則性の条件によって解空間がどのように異なるかということへの理解を与える。