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Construction of new phase field methods for dynamical problems in the calculus of variations

变分法动力学问题新相场方法的构建

基本信息

批准号：
20K14343
负责人：
高棹圭介
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主に、平均曲率流方程式の障害物問題について研究した。2020年度に研究代表者は、周期境界条件における障害物付きの平均曲率流方程式について弱解の存在定理を得たが、本年度ではノイマン境界条件下で同様の結果が得られるかという問題について、研究協力者のKaterina Nik氏(ウィーン大学)と研究を行った。2020年度に得られた結果では、Allen-Cahn方程式に対し障害物に相当する外力項を加えて、適切な優解、劣解を構成し、これによって障害物の中に侵入しない平均曲率流方程式の弱解を得た。本年度も基本的には同様の方針で考察したが、2020年度で与えた優解、劣解は一般の領域には適用できない。この問題に対して、領域の形状に依存せず適用できる新しい優解、劣解を構成した。この結果により、凸領域での弱解の構成が可能となった。本年度ではさらに、非凸領域における弱解の構成も考えた。フェイズフィールド法による弱解の構成では、discrepancy measure(ディリクレエネルギーとポテンシャルエネルギーの差によって定義されるラドン測度)が特異極限で消滅することが要求される。凸領域では、最大値原理を用いてdiscrepancy measureの符号が変化しないことが示せるので、単調性公式等、弱解の存在で必要な評価式を比較的容易に得ることが出来る。しかし一般の非凸領域ではこの議論が使えないため、先行結果であるKagaya(2019)の方法を参考にし、非凸領域の場合でも単調性公式が得られることを明らかにした。次年度は引き続き弱解の構成を進め、得られた結果を論文にまとめ投稿する予定である。

This year, the main and average curvature flow equations and the obstacle problem are studied. In 2020, Katerina Nik's (University), a research collaborator, obtained the existence theorem of weak solutions under periodic boundary conditions, and obtained the same results under boundary conditions. In 2020, the results show that the Allen-Cahn equation is equivalent to the external force term, the optimal solution, the inferior solution, the weak solution of the average curvature flow equation. This year's basic policy is the same, and in 2020, it is applicable to the best solution and the worst solution. The problem is related to the shape of the domain, and the new optimal solution and the inferior solution are applied. The result is that the weak solution of convex domain is possible. This year, the composition of weak solutions in non-convex fields is examined. The composition of weak solutions in the method of "discrepancy measure"(definition of the difference between "discrepancy measure" and "discrepancy measure") is the requirement for the elimination of special limits. Convex domain, maximum value principle, symbol change of discrepant measure, unity formula, existence of weak solution, necessary evaluation formula, comparison easy to obtain Kagaya's (2019) method of reference and non-convex domain is based on the following formula: The next year, the composition of the weak solution was improved, and the results were obtained.