Analysis of evolving surfaces with conservation laws

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当該年度は、保存則を持つ平均曲率流方程式、特に体積保存平均曲率流方程式に関する研究を行った。平均曲率流方程式とは、速度が平均曲率に従う曲面が解となる偏微分方程式である。また、体積保存条件とは、曲面で囲まれた部分の体積が一定であるという条件であり、物理的には水中の油滴等が対応する。体積保存平均曲率流方程式の弱解の存在に関しては、当研究員によってフェイズフィールド法による証明が2017年に与えられている。それに対して本研究ではより一般化された条件として、重み付き体積保存条件、即ち、与えられた重み付き関数を曲面で囲まれた領域上で積分したものが一定という条件を考察した。重み付き体積保存平均曲率流に関しては2016年にHartleyが考察を行っている。しかし、Hartleyが考察を行った方程式では、重み付き体積保存条件が曲面積のEuler-Lagrange方程式に対して自然な制約条件になっていないことにより、空間の密度が球対称でない場合にも球が定常解になることが起こりうる。それを踏まえて本研究では変分法の観点から自然な制約条件を与えている重み付き体積保存平均曲率流方程式を導出した。さらに、体積保存平均曲率流方程式に関するフェイズフィールド法を改良し、重み付き体積保存条件を課した場合についても弱解の時間大域存在を証明した。この研究成果によって体積保存条件が一般化されたことにより、今後様々な応用が期待できる。尚、本結果は現在論文として投稿準備中である。