Research on the well-posedness, regularity, and justification of numerical methods for fluid problems and related boundary-value problems

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(1) シニョリーニ条件やクーロン摩擦条件は、弾性体力学の接触問題の定式化に用いられる基本的な境界条件である。ともに定常問題ではよく研究されている一方で、非定常問題の解析は格段に難しくなり、解の存在や一意性は未解決問題である。我々は、速度を含むようなシニョリーニ型条件を提案し、クーロン摩擦をトレスカ摩擦に単純化した問題であれば、解の存在と一意性が得られることを証明した。(2) 領域内部と境界上で楕円形偏微分方程式を考え、それら2つがノイマン作用素を通じて相互作用するモデルを一般化ロバン境界条件という。昨年度は、一般化ロバン境界値問題に対して、曲がった境界を多角形近似することで生じる領域摂動も考慮した有限要素法の誤差評価を導いた。この結果では領域形状を表現する基底関数と有限要素法の基底関数はともに区分一次多項式（P1要素）に限られていた。今年度は、基底関数を高次の多項式（アイソパラメトリック要素）に拡張することに成功した。(3) 放物型方程式において、時間に関する不連続ガレルキン法を用いると、1段法として1ステップずつ時間を進めることから計算負荷を抑えられる一方で、高次精度を容易に扱えるというメリットを持つスキームを考えることができる。近年注目を集めるアイソジオメトリック解析でも採用されることが多く、このスキームの理論解析は重要な課題である。時間に関する最大値ノルムによる誤差評価が先行研究で示されているものの、時間刻み幅の対数項を含むため最良オーダーではなかった。我々はその結果を改善し、不連続ガレルキン法による近似次数が1以上であるという仮定のもとで、対数項のない最良オーダー収束を示すことに成功した。