摩擦型境界条件下でのNavier-Stokes方程式の有限要素近似

前年度までに得られた、摩擦型滑り・漏れ境界条件を課した非圧縮流体の方程式に対する数学解析と数値解析の成果を論文にまとめた。数値解析においては、多角形領域における定常ストークス方程式に対する有限要素近似の誤差評価が主結果であり、数学解折においては、滑らかな有界領域における非定常ナビエ・ストークス方程式の適切性が主結果となっている。一方で、円板のように、多角形ではない滑らかな境界を持つ場合の有限要素近似に関しては、領域の近似も考えないといけないことからこれまで考察できていなかった。特に滑り境界条件の場合、法線ベクトルの近似が関係する部分を安易に扱うと変分法違反が発生するので注意が必要である。そこで、滑り境界条件問題に対して、法線方向のディリクレ境界条件にペナルティー法と次数低減数値積分を適用した数値計算法を提案した。境界条件が線形の場合には誤差評価が得られ、その有効性を数値実験で確かめた。さらに、摩擦型滑り・漏れ境界条件の場合にこのアイデアを応用した数値計算も行った。摩擦型境界条件以外の、様々な非標準的な境界条件を課したポアソン方程式やストークス方程式を研究した。まず、通常のロバン境界条件にラプラス・べルトラミ作用素のような境界上の2階微分項が加わった、一般化ロバン境界条件問題を考えた。このような一般化ロバン境界条件は、血管内の血流をシミュレーションするための流体構造連成問題のモデルとして使われている。本研究では、線形化・定常化した問題に対して、弱解の存在・一意性とデータの滑らかさに応じた解の正則性を示し、さらに有限要素近似の誤差評価を与えた。次に、ロバン境界条件問題において、パラメータを0または無限大に近づけると、形式的にはノイマンまたはディリクレ条件が得られる。この極限においてロバン問題の解が実際にノイマンまたはディリクレ問題の解に収束することを証明した。

前年度までに得られた、摩擦型滑り・漏れ境界条件を課した非圧縮流体の方程式に対する数学解析と数値解析の成果を論文にまとめた。数値解析においては、多角形領域における定常ストークス方程式に対する有限要素近似の誤差評価が主結果であり、数学解折においては、滑らかな有界領域における非定常ナビエ・ストークス方程式の適切性が主結果となっている。一方で、円板のように、多角形ではない滑らかな境界を持つ場合の有限要素近似に関しては、領域の近似も考えないといけないことからこれまで考察できていなかった。特に滑り境界条件の場合、法線ベクトルの近似が関係する部分を安易に扱うと変分法違反が発生するので注意が必要である。そこで、滑り境界条件問題に対して、法線方向のディリクレ境界条件にペナルティー法と次数低減数値積分を適用した数値計算法を提案した。境界条件が線形の場合には誤差評価が得られ、その有効性を数値実験で確かめた。さらに、摩擦型滑り・漏れ境界条件の場合にこのアイデアを応用した数値計算も行った。摩擦型境界条件以外の、様々な非標準的な境界条件を課したポアソン方程式やストークス方程式を研究した。まず、通常のロバン境界条件にラプラス・べルトラミ作用素のような境界上の2階微分項が加わった、一般化ロバン境界条件問題を考えた。このような一般化ロバン境界条件は、血管内の血流をシミュレーションするための流体構造連成問題のモデルとして使われている。本研究では、線形化・定常化した問題に対して、弱解の存在・一意性とデータの滑らかさに応じた解の正則性を示し、さらに有限要素近似の誤差評価を与えた。次に、ロバン境界条件問題において、パラメータを0または無限大に近づけると、形式的にはノイマンまたはディリクレ条件が得られる。この極限においてロバン問題の解が実際にノイマンまたはディリクレ問題の解に収束することを証明した。