摩擦型境界条件下でのNavier-Stokes方程式の有限要素近似

摩擦边界条件下纳维-斯托克斯方程的有限元近似

• 批准号: 11J00848
• 负责人: 柏原 崇人
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J00848/
• 关键词: ナビエ・ストークス方程式; 有限要素法; 摩擦型境界条件; 滑り境界条件; 漏れ境界条件; ペナルティー法; 一般化ロバン境界条件; 流体構造連成; Navier-Stokes方程式; 濡れ境界条件; 変分不等式; Ladyzhenskaya型の強解; L1ノルムに対する数値積分

前年度までに得られた、摩擦型滑り・漏れ境界条件を課した非圧縮流体の方程式に対する数学解析と数値解析の成果を論文にまとめた。数値解析においては、多角形領域における定常ストークス方程式に対する有限要素近似の誤差評価が主結果であり、数学解折においては、滑らかな有界領域における非定常ナビエ・ストークス方程式の適切性が主結果となっている。一方で、円板のように、多角形ではない滑らかな境界を持つ場合の有限要素近似に関しては、領域の近似も考えないといけないことからこれまで考察できていなかった。特に滑り境界条件の場合、法線ベクトルの近似が関係する部分を安易に扱うと変分法違反が発生するので注意が必要である。そこで、滑り境界条件問題に対して、法線方向のディリクレ境界条件にペナルティー法と次数低減数値積分を適用した数値計算法を提案した。境界条件が線形の場合には誤差評価が得られ、その有効性を数値実験で確かめた。さらに、摩擦型滑り・漏れ境界条件の場合にこのアイデアを応用した数値計算も行った。摩擦型境界条件以外の、様々な非標準的な境界条件を課したポアソン方程式やストークス方程式を研究した。まず、通常のロバン境界条件にラプラス・べルトラミ作用素のような境界上の2階微分項が加わった、一般化ロバン境界条件問題を考えた。このような一般化ロバン境界条件は、血管内の血流をシミュレーションするための流体構造連成問題のモデルとして使われている。本研究では、線形化・定常化した問題に対して、弱解の存在・一意性とデータの滑らかさに応じた解の正則性を示し、さらに有限要素近似の誤差評価を与えた。次に、ロバン境界条件問題において、パラメータを0または無限大に近づけると、形式的にはノイマンまたはディリクレ条件が得られる。この極限においてロバン問題の解が実際にノイマンまたはディリクレ問題の解に収束することを証明した。

本文总结了对前一年获得的非压缩流体方程的数学和数值分析结果，这些方程施加了摩擦型滑移和裂口边界条件。在数值分析中，主要结果是对多边形区域中稳态Stokes方程的有限元近似的错误评估，在数学解决方案中，主要结果是平滑界区域中不稳定状态的Navier-Stokes方程的适当性。另一方面，当像圆盘一样，有一个光滑的边界不是多边形时，我们无法考虑有限元的近似值，因为我们还必须考虑该区域的近似值。特别是，在滑动边界条件的情况下，需要谨慎，因为涉及正常矢量近似的零件的简单处理将导致违规方法。因此，对于滑移边界条件问题，我们提出了一种数值计算方法，其中惩罚方法和订单还原的数值集成被应用于正常方向的Dirichlet边界条件。当边界条件是线性的时，将获得错误评估，并使用数值实验验证其有效性。此外，在摩擦型滑动/泄漏边界条件的情况下，使用此想法进行了数值计算。研究了泊松和斯托克斯方程，这些方程施加了各种非标准边界条件以外的其他非标准边界条件。首先，我们考虑了广义的Roban边界条件问题，其中将边界上的两阶差异项（例如Laplace-Bertrami操作员）添加到正常的Roban边界条件中。这种广义的roban边界条件已被用作流体结构耦合问题的模型，以模拟血管内的血流。在这项研究中，我们根据弱解决方案的存在和唯一性以及对线性和稳定问题的数据的平滑度介绍了解决方案的规律性，并提供了对有限元近似值的错误评估。接下来，在Roban边界条件问题中，将参数更接近0或无穷大给出了正式的Neumann或Dirichlet条件。已经证明，在此限制下，Roban问题的解决方案实际上将解决方案融合到Neumann或Dirichlet问题的解决方案。

项目成果

ロバン境界条件のディリクレ境界条件への収束とそのペナルティー法の誤差評価への応用

Roban边界条件向Dirichlet边界条件的收敛及其在罚分法误差评估中的应用

• 发表时间: 2013
• 作者: 益田伸一;中新信彦;細貝知直;ジドコフアレクセイ;金展;水田好雄;中原弘貴;岩佐健太;竹口直輝;幸原朋広;末田敬一;神門正城;佐野智一;荒河一渡;兒玉了祐;柏原 崇人;太田寛人;Kenji Ohta;柏原 崇人
• 通讯作者: 柏原 崇人

"method of numerical integration"による摩擦型境界条件問題の数値解析について

使用“数值积分法”对摩擦型边界条件问题进行数值分析

• 发表时间: 2013
• 作者: 細貝知直;益田伸一;中新信彦;ジドコフアレクセイ;金展;水田好雄;中原弘貴;岩佐健太;竹口直輝;幸原朋広;末田敬一;神門正城;佐野智一;荒河一渡;兒玉了祐;太田健二;柏原 崇人
• 通讯作者: 柏原 崇人

L1(a,b)ノルムの数値計算に対する注意とその応用について

L1(a,b)范数数值计算及其应用注意事项

• 发表时间: 2011
• 作者: Tomonao Hosokai;Nobuhiko Nakanii;Shinichi Masuda;Alexei Zhidkov;Yoshio Mizuta;Hiroki Nakahara;Tomohiro Kohara;Atsushi Yamazaki;Kazuto Arakawa;Tomokazu Sano;Masaki Kando;Serugei V. Bulanov;Ryosuke Kodama;柏原崇人
• 通讯作者: 柏原崇人

摩擦型境界値問題に対する二つの数値計算法の比較 : ニュートン法とActive/Inactive集合法

摩擦边值问题两种数值计算方法的比较：牛顿法和主动/非主动集法

• 发表时间: 2013
• 作者: 加納太一;坂本龍;丸岡啓二;柏原崇人
• 通讯作者: 柏原崇人

P2/P1有限要素を用いた離散版ソレノイダル拡張定理の証明とその応用について

利用P2/P1有限元证明离散螺线管膨胀定理及其应用

• 发表时间: 2011
• 作者: N. Nakanii;T. Hosokai;S. Masuda;A. G. Zhidkov;Z. Jin;Y. Mizuta;H. Nakahara;T. Kohara;K. Iwasa;M. Kando;H. Kotaki;M. Mori;S. V. Bulanov;A. Yamazaki;T. Sano;K. Arakawa. and R. Kodama;島崎信二;Stephane Labrosse(共著);麻野 敦資;柏原崇人
• 通讯作者: 柏原崇人