拡散過程の特異な時間変更に付随する自己共役作用素と熱核に関する研究

点击翻译按钮获取中文摘要

マルコフ過程のフェラー性について研究を行い、時間変更という操作における安定性を調べた。フェラー性の定義は解析的なもので、マルコフ過程の半群が無限遠点で零になる連続関数の族を不変にすることを意味するが、この定義の確率論的な特徴付けや意味についてこれまでに様々な考察がなされてきた。例えば、非コンパクトな状態空間の上のマルコフ過程に対しては、フェラー性と（Liming Wuの意味での）一様超指数再帰性は両立しないことが知られている。このことから、フェラー性はマルコフ過程の大域的性質の一つであると理解することができ、そのための十分条件について考察していくことは確率過程論における自然な問題の一つである。マルコフ過程の再帰性と過渡性は時間変更によって保存され、過渡的なマルコフ過程の時間変更は上述した強い再帰性をもたない。このことからマルコフ過程が過渡的な場合は再帰的な場合に比べてフェラー性が安定しやすいと考え、まずは過渡性がある状況の下で研究を行うことにした。その結果、対応する時間変更過程が有限時間で無限遠点に到達する（爆発する）ときにはフェラー性が安定するための十分条件を見出すことができた。これは時間変更を特徴づける正値連続加法汎関数やそれに対応するRevuz測度の言葉で記述されるものである。証明では状態空間をコンパクト化し、爆発後のマルコフ過程の拡張（一点拡張と呼ばれている）を導入することが重要になった。