領域上の特異な拡散過程に対する一意性と離散近似

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京都大学の日野正訓教授及びその指導学生であった真木新太氏との共同研究において、ユークリッド空間の領域上の反射壁ブラウン運動の離散近似に関する結果を得ることができた。この近似は領域の分割上のマルコフ連鎖を用いたものであり、重要な分割の例としては、一様かつ独立なランダム点配置から定まるボロノイ分割が挙げられる。この種の状況では、点配置が不均一であることに由来する問題が多く発生し、適切なマルコフ連鎖の構成自体が非自明なものとなる。本研究では、この種の不均一性を補正するため、均質化理論に見られるようなコレクターの導入が重要となった。また、反射壁ブラウン運動の生成作用素であるノイマン・ラプラシアンの芯についても結果を得ることができた。本研究の結果を周知するため、国内の確率論セミナーで講演を行った。ユークリッド空間の領域上の反射壁ブラウン運動の離散近似に関しては、領域内の格子点上の単純ランダムウォークを用いた先行研究があった。これは、ワシントン大学のK.Burdzy氏とZ.Q.Chen氏らによってなされたものである。証明では、ランダムウォークの列の部分列極限の存在を示し、更にそれがマルコフ性をもつことを確認する必要があった。マルコフ性の証明にあたっては、T.Delmotte氏による放物型ハルナック不等式が用いられていたが、別の方法による証明を与えた。これはマルコフ連鎖に対応する生成作用素のスペクトルギャップの定量評価を用いたものである。