Combinatorial aspects of the Teichmuller theory

本研究の目的は、Teichmuller 理論およびその高階化に関する幾何学をクラスター代数を用いた組み合わせ論的な観点から明らかにすることである。本年度は研究目標の一つである「高階ラミネーションの幾何学的な構成」に関して、SL(3)の場合に達成することができた。昨年度までのsl(3)-スケイン代数を用いたSL(3)-Teichmuller理論に関連したモジュライ空間の関数環の記述を踏まえ、東北大学の狩野隼輔氏との共著論文においては「曲面上の符号付きsl(3)-ウェブ」に基づいたSL(3)-ラミネーションの定式化を行なった。これらはThurstonの剪断座標の高階版でパラメトライズされ、曲面が針孔を持たない場合にはSL(3)-クラスター代数の線形基底と一対一に対応する。この場合には我々のSL(3)-ラミネーションをクラスター代数の基底に対応させる写像がFock--Goncharov双対性の幾何学的な構成となっていることが期待される。公理の条件が実際満たされていることを確認することは今後の課題である。また、同じく階数2のLie代数であるsp(4)の場合についての同様の研究にも着手し、京都大学の湯淺亘氏との共著論文では適切なsp(4)-スケイン代数の整形を用いたSp(4)-Teichmuller理論に関連したモジュライ空間の量子関数環の記述を与えた。sp(4)はsimply-lacedでない点でSL(n)の系列とは本質的に異なる現象が見られ、興味深い。この対応をもとにしたSp(4)-ラミネーションの定式化については現在、中国科学技術大学のZhe Sun氏を加えた研究が進行中である。

本研究の目的は、Teichmuller 理論およびその高階化に関する幾何学をクラスター代数を用いた組み合わせ論的な観点から明らかにすることである。本年度は研究目標の一つである「高階ラミネーションの幾何学的な構成」に関して、SL(3)の場合に達成することができた。昨年度までのsl(3)-スケイン代数を用いたSL(3)-Teichmuller理論に関連したモジュライ空間の関数環の記述を踏まえ、東北大学の狩野隼輔氏との共著論文においては「曲面上の符号付きsl(3)-ウェブ」に基づいたSL(3)-ラミネーションの定式化を行なった。これらはThurstonの剪断座標の高階版でパラメトライズされ、曲面が針孔を持たない場合にはSL(3)-クラスター代数の線形基底と一対一に対応する。この場合には我々のSL(3)-ラミネーションをクラスター代数の基底に対応させる写像がFock--Goncharov双対性の幾何学的な構成となっていることが期待される。公理の条件が実際満たされていることを確認することは今後の課題である。また、同じく階数2のLie代数であるsp(4)の場合についての同様の研究にも着手し、京都大学の湯淺亘氏との共著論文では適切なsp(4)-スケイン代数の整形を用いたSp(4)-Teichmuller理論に関連したモジュライ空間の量子関数環の記述を与えた。sp(4)はsimply-lacedでない点でSL(n)の系列とは本質的に異なる現象が見られ、興味深い。この対応をもとにしたSp(4)-ラミネーションの定式化については現在、中国科学技術大学のZhe Sun氏を加えた研究が進行中である。