Index theory for Fourier integral operators
傅立叶积分算子的指数理论
基本信息
- 批准号:316620701
- 负责人:
- 金额:--
- 依托单位:
- 依托单位国家:德国
- 项目类别:Research Grants
- 财政年份:2016
- 资助国家:德国
- 起止时间:2015-12-31 至 2019-12-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
The development of index theory, culminating with the proof of the Atiyah-Singer index theorem, was one of the great achievements of mathematics in the last century. Since then, index theory has become a central research area in pure mathematics with applications in fields as diverse as topology, geometry, analysis, number theory, and theoretical physics.While initially, only local (or pseudo-local) operators were considered, it has meanwhile become possible - due to the work of Savin and Sternin and of Perrot - to apply methods of noncommutative geometry of Connes and treat also operators which combine the action of local operators with that of group actions on the underlying space. In this project we shall extend their work to the case, where the group acts by quantized canonical transformations, so that we obtain index theory for an algebra of Fourier integral operators. The task of determining the index of a single quantized canonical transformation is known as the Atiyah-Weinstein index problem; it was solved by Epstein and Melrose and, in a more general setting, by Leichtnam, Nest and Tsygan. For Dirac operators on Lorentzian spacetimes, Bär and Strohmaier set up and solved an index problem. For time-independent metrics, the index is given as the index of a Toeplitz variant of a quantized canonical transformation.We will study the index theory for these operator algebras in three geometric situations: for closed manifolds, in the context of Sobolev problems, and for manifolds with singularities.In all these settings, we will establish criteria for the Fredholm property and derive index formulae. Of particular interest is the case of Sobolev problems (or relative elliptic theory), where the operator algebras are constructed for pairs consisting of a smooth manifold and a smooth submanifold. Via composition with boundary and coboundary operators, an operator on the full manifold induces a 'trace' on the submanifold. One of the exciting and unexpected features of the theory is the fact that these traces are operators of a completely new nature; in particular we obtain new important classes of operators.Manifolds with singularities present an additional challenge. Up to now, there is no satisfactory index theory even for the standard differential operators on these spaces. We will derive Fredholm criteria for the full algebra and obtain index formulae only for special classes of operators satisfying certain symmetry properties.
指数理论的发展,以阿蒂亚-辛格指数定理的证明而达到顶峰,是上个世纪数学的伟大成就之一。从那时起,指数理论已经成为纯数学的一个中心研究领域,在拓扑学、几何学、分析、数论和理论物理学等领域都有应用。(或伪局部)算子被考虑,与此同时,由于萨文、斯特宁和佩罗的工作,应用方法的非交换几何的康纳斯和治疗也运营商的联合收割机的行动,当地运营商的集体行动的基础空间。在这个项目中,我们将扩大他们的工作的情况下,在该集团的行动量化的正则变换,使我们获得指数理论的代数傅立叶积分算子。确定单个量子化正则变换的指数的任务被称为Atiyah-Weinstein指数问题;它由Epstein和Melrose解决,在更一般的情况下,由Leichtnam,Nest和Tsygan解决。对于洛伦兹时空上的狄拉克算子,贝尔和施特罗迈尔建立并解决了一个指标问题。对于与时间无关的度量,指数是量子化正则变换的Toeplitz变式的指数。我们将在三种几何情形下研究这些算子代数的指数理论:闭流形,Sobolev问题,以及具有奇点的流形。在所有这些情形下,我们将建立Fredholm性质的判据并推导指数公式。特别令人感兴趣的是索伯列夫问题(或相对椭圆理论)的情况,其中算子代数是由光滑流形和光滑子流形组成的对构造的。通过与边界算子和上边界算子的复合,满流形上的算子在子流形上诱导出一个“迹”。一个令人兴奋的和意想不到的特点的理论是,这些痕迹是运营商的一个全新的性质,特别是我们获得了新的重要类别的运营商。流形与奇点提出了一个额外的挑战。到目前为止,甚至对于这些空间上的标准微分算子也没有令人满意的指标理论。我们将导出全代数的Fredholm准则,并仅对满足某些对称性质的特殊算子类得到指数公式。
项目成果
期刊论文数量(4)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
Analytic and algebraic indices of elliptic operators associated with discrete groups of quantized canonical transformations
与离散量化规范变换组相关的椭圆算子的解析和代数索引
- DOI:10.1016/j.jfa.2019.108400
- 发表时间:2020
- 期刊:
- 影响因子:1.7
- 作者:A. Savin;E. Schrohe
- 通讯作者:E. Schrohe
Traces of Quantized Canonical Transformations on Submanifolds and Their Applications to Sobolev Problems with Nonlocal Conditions
子流形上的量化正则变换的迹及其在非局部条件 Sobolev 问题中的应用
- DOI:10.1134/s106192081901014x
- 发表时间:2019
- 期刊:
- 影响因子:1.4
- 作者:P. A. Sipailo
- 通讯作者:P. A. Sipailo
Elliptic operators associated with groups of quantized canonical transformations
与量化规范变换组相关的椭圆算子
- DOI:10.1070/rm9830
- 发表时间:2018
- 期刊:
- 影响因子:0.9
- 作者:A. Yu. Savin;E. Schrohe;B. Yu. Sternin
- 通讯作者:B. Yu. Sternin
On Traces of Fourier Integral Operators on Submanifolds
子流形上傅里叶积分算子的迹
- DOI:10.1134/s0001434618090225
- 发表时间:2018
- 期刊:
- 影响因子:0.6
- 作者:P. A. Sipailo
- 通讯作者:P. A. Sipailo
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