p進コホモロジーとその新展開

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今年度は本研究計画において重要な年になった。研究計画の一つの目標であった分岐理論のホモトピー論的再構成に成功した。Xを正標数体上の多様体とし、その上のエタール構成可能層をFとする。斎藤はFの特性サイクルと呼ばれる普遍量を定義した。特性サイクルをよりホモトピー論的に再構成するのが一つの目標であった。そのために良い「テスト関数列」をとり，それに付随する0サイクルを近接隣体の理論を用いて構成する。この出てくる0サイクルがテスト関数列の選択によらないことをホモトピー論を用いて証明するというのが大筋であった。まず必要になってくるのはこれらの操作を定式化することである。無限圏を用いる場合セットアップがとても大切であり、初めからすべてのデータを固定しておく必要が生じる。そのため定式化が非常に大切である。そのため「localization system」という概念を導入し、エタール層がlocalization systemを成していることを証明した。localization systemはテスト関数の選択の自由度などを定式化したものであり、エタール層がlocalziation systemを成すことを示すためにKedlayaの準安定還元定理の手法を用いるなどとても深い考察が必要である。一方でChow群などはtrace射を持っており、これらの情報は「reversible coefficient」という概念を導入することで定式化した。主定理はlocalization systemからreversible coefficientへの射は極めて簡単な構造を持っているというものである。結果、特性サイクルの構成は台の次元が0なエタール層の特性サイクルの構成に自動的に帰着され、それはほぼ一意的に決まるというように特性サイクルが構成できる。論文は現在執筆中である。