代数的サイクルの数論幾何学的研究

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モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたのがVoevodsky（2002年フィールズ賞受賞）である．Voevodskyの理論ではアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった．しかしこれは応用上本質的な制約となる．代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，上記の不変量や現象をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyのモチーフの理論で中核的役割をはたす「ホモトピー不変性層」を拡張する「相互層」を新たに導入した．本年度の成果は相互層の分岐理論への応用である．相互層の理論により，正標数における階数1のエタール層の暴分岐や，標数0における階数1の可積分接続の非正則な特異点をモチーフ理論的に捉えることが可能になった．相互層Fと体k上分離的滑らかなスキームUにたいし, k上の分離的スキームXとその上のカルティエ因子DでU=X-Dなるものの組(X, D)をパラメーターとするF(U)上のフィルトレーションF(X,D)⊂F(U) が定義される．F(U)がUのアーベル基本群の指標全体のなす群の場合は，このフィルトレーションは加藤-松田が定義したArtin導手を復元する．kの標数が0でF(U)がU上の階数1の接続全体の為す群の場合は，このフィルトレーションは接続の不正則数を復元する．これらの結果によりこのフィルトレーションは「相互層Fにたいするモチーフ論的分岐フィルトレーション」と呼ばれる．さらにモチーフ論的分岐フィルトレーションにたいし Zariski-Nagata型の純粋性定理を示した．またAbbes-Saitoの分岐理論の方法により定義される別のフィルトレーションと一致することも示した．