対数的トレリ問題

ホッヂ理論における無限小変形の方法は代数幾何において様々な成果をもたらしている.もともとのアイデアはGriffithsによるもので、射影空間内の超曲面の族のコホモロジーから生ずるホッヂ構造の無限小変形をヤコビ環を用いて計算して、これをトレリ問題に応用した.その後もホッヂサイクルに対するNoether-Lefschetz問題や代数的サイクルへの応用など様々な成果がこの方法によりもたらされている.本研究ではこの方法を,「Beilinson-Hodge予想にたいするNoether-Lefschetz問題の類似」へ応用した.Beilinson-Hodge予想とは,非特異コンパクトな複素多様体上のホッヂサイクルにたいするホッヂ予想のコンパクトでない複素多様体にたいする類似の予想である。ホッヂ予想は所謂ホッヂサイクルが代数的サイクルのコホモロジー類であると予想する.コンパクトでない複素多様体のコホモロジーにたいしてもDeligneの混合Hodge構造の理論によりホッヂサイクルの類似(Beilinson-Hodgeサイクル)が定義される.この予想はこれらがレギュレーター写像によりBlochの高次代数的サイクルからくると予想するものである.予想は1次元(コンパクトリーマン面)の場合には成立することが知られている.実際この場合にはアーベルの定理に同値である.本研究では以下の成果を得た.射影空間内の完全交差多様体の族に対してBeilinson-HodgeサイクルにたいするNoether-Lefschetz問題の類似を考察して,Noether-Lefschetz locusのモヂュライ空間での余次元の評価を得た.これにより一般の完全交差多様体に対してはBeilinson-Hodge予想が成立することを示した.さらに,上述のNoether-Lefschetz locusをある場合に詳しく研究し,最大次元をもつ既約成分が無限個存在するというまったく新しい現象を発見した.またそれら既約成分を全て幾何学的に記述することに成功した.

ホッヂ理論における無限小変形の方法は代数幾何において様々な成果をもたらしている.もともとのアイデアはGriffithsによるもので、射影空間内の超曲面の族のコホモロジーから生ずるホッヂ構造の無限小変形をヤコビ環を用いて計算して、これをトレリ問題に応用した.その後もホッヂサイクルに対するNoether-Lefschetz問題や代数的サイクルへの応用など様々な成果がこの方法によりもたらされている.本研究ではこの方法を,「Beilinson-Hodge予想にたいするNoether-Lefschetz問題の類似」へ応用した.Beilinson-Hodge予想とは,非特異コンパクトな複素多様体上のホッヂサイクルにたいするホッヂ予想のコンパクトでない複素多様体にたいする類似の予想である。ホッヂ予想は所謂ホッヂサイクルが代数的サイクルのコホモロジー類であると予想する.コンパクトでない複素多様体のコホモロジーにたいしてもDeligneの混合Hodge構造の理論によりホッヂサイクルの類似(Beilinson-Hodgeサイクル)が定義される.この予想はこれらがレギュレーター写像によりBlochの高次代数的サイクルからくると予想するものである.予想は1次元(コンパクトリーマン面)の場合には成立することが知られている.実際この場合にはアーベルの定理に同値である.本研究では以下の成果を得た.射影空間内の完全交差多様体の族に対してBeilinson-HodgeサイクルにたいするNoether-Lefschetz問題の類似を考察して,Noether-Lefschetz locusのモヂュライ空間での余次元の評価を得た.これにより一般の完全交差多様体に対してはBeilinson-Hodge予想が成立することを示した.さらに,上述のNoether-Lefschetz locusをある場合に詳しく研究し,最大次元をもつ既約成分が無限個存在するというまったく新しい現象を発見した.またそれら既約成分を全て幾何学的に記述することに成功した.