Analytic research on branching law of infinite-dimensional representations associated with symmetric R spaces

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私はこの数年間で，リー群Gとその部分群G_1の組(G,G_1)が正則型対称対の場合に，Gの正則離散系列表現HからG_1の正則離散系列表現H_1へのG_1-絡作用素 (対称性破れ作用素) F:H→H_1を，Gが単純リー群，Hがスカラー型，H_1も (スカラー型を含む) 比較的簡単な表現の場合に，微分作用素として具体的に構成した．またその過程で，(G,G_1)の付随対称対(G,G_2)に対し，エルミート対称空間G_2/K_2上の比較的簡単な多項式f(x_2)について，多項式det(x_2)^kf(x_2)とG/K上の指数関数e^(x|z)との，G/K上での内積を具体的に計算した．特にf(x_2)=1の場合 (H_1がスカラー型の場合に相当) には，この結果がHeckman-OpdamのBC型多変数超幾何多項式を用いて与えられることを示した．また今年度はさらに，引き続きGを単純リー群，Hをスカラー型とするが，H_1は一般の表現とした場合に，絡作用素の具体的構成はできていないものの，その適切な正規化の下での作用素ノルムを計算することができ，特に(G,G_1)の分岐則におけるParseval-Plancherel型公式を求めることができた．さらにこの内積を具体的に計算したことにより，正則離散系列表現H=H(λ)の連続パラメータλに関する解析接続を考えると，そのλに関する極の位置を具体的に決定できる．ここから，正則離散系列表現H(λ)を解析接続してできる表現が可約となる場合にも，これを部分群G_1に制限した際の分岐則に関する情報を得ることができた．昨年度までは比較的簡単なH_1，今年度は一般のH_1に対してこの計算を行った．またこれらの計算の結果，既知の多変数超幾何多項式，およびそれを自然に一般化した関数が現れたことから，この研究は多変数特殊関数論にも影響を与えると期待している．