Combinatorial descriptions of crystal bases and applications to the cluster theory

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本年度は、これまで扱った以外の古典的アファイン型リー環に対するVerma加群の結晶基底の多面体表示について、その組み合わせ論的対象による記述を研究した。具体的には、higher level Young wallという既存の組み合わせ論的対象を使った、多面体表示の具体形の記述を研究した。その結果、具体形の記述に関する予想を立てることができた。また、これまでの研究で、いくつかの古典的アファイン型リー環に対する既約加群の結晶基底の多面体表示の組み合わせ論的記述に関して、予想を立てることができていた。本年度の研究で、予想の解決を行うことができた。結果を論文にまとめ、論文誌に投稿した。本研究課題については、研究集会「物理的な代数と組合せ数学セミナー」で研究発表を行った。既約加群を一般化したextremal weight加群の結晶基底についても、その多面体表示を研究した。具体的には、多面体表示の具体形に関する特徴付けを行った。本研究課題については、受入研究者である佐垣氏と共同研究を行った。いくつかの古典的アファイン型リー環とweightに対する結晶基底の多面体表示について、その具体形を求めることができた。また、Koshevoy氏、中島氏と共同研究を行い、古典型リー群上のdecorationを明示的に求めるアルゴリズムを構築することができた。結果を論文にまとめ、現在論文誌に投稿中である。本研究課題については、研究集会「Algebraic Lie Theory and Representation Theory (ALTReT) 」で研究発表を行った。