不連続性を持つ力学系の理論の構築

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本年度はまず、去年度に引き続き部分写像のベクトル場による表現可能性の問題について考察を進めた。具体的には、first-out写像とfirst-in写像という概念を導入し、それについて体系的な考察を行った。これらは古典的に知られるfirst-return mapの一般化として、連続時間の力学系から得られるものである。相空間の部分集合のうち良い性質をもつものについては、first-out写像とfirst-in写像が定義されるかどうかとその振る舞いを基準として、境界点を分類することが可能である。特に二次元の場合、この分類のタイプを並べることでタイプ列という位相不変量を得ることができるが、これは力学系の挙動についての情報を与える。またこの枠組みを用いると、ハイブリッドシステムにおける分岐の問題をタイプ列の変化として表すことが可能である。こうした結果については論文としてまとめ、現在投稿中である。またYorkeによる常微分方程式の公理的理論に関して、その漸近的な挙動と不変測度に関する研究を行った。その結果、漸近挙動についての結果が得られたのみならず、時間発展の一意性を持たない力学系を扱う他の枠組みとの関係性についてもかなり解明された。さらに、不変測度の概念をYorke理論の枠組みにおいて導入し、古典的な結果の一般化を示すことに成功した。こうした結果は、一般のハイブリッドシステムにおける不変測度の概念を考察する上でも基本的になるものと考えられる。この研究成果についても現在投稿中である。以上の研究により得られた結果は国内外の学会・研究集会で発表した。