Development of a new analysis technique to investigate continuous dynamical systems

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本研究課題で用いられるHelmholtz-Hodge分解を数値的に構成する際、ベクトル場を区分的に定数とみなす操作が行われる。これにより、ベクトル場は元の連続なものから区分的に連続なものへと変換される。しかし、区分的に連続なベクトル場については、解の概念の定義や定性的な性質に関してそれ固有の問題点があり、こうした点に関する調査・研究を去年度に引き続き行った。具体的に、本年度はFilippovの方法に関する研究に関連して、一意性があるとは限らない力学系について、その同値性を定式化する方法について考察を行った。今回得られた結果により、ベクトル場を区分的に定数とみなす操作の前後での定性的な性質の変化を厳密な形で述べることができるようになった。また、Helmholtz-Hodge分解の構成について、今までに得られていた結果を改良し、投稿論文としてまとめた。すなわち、線形なベクトル場や2次元平面の場合に関して、各点で直交するHelmholtz-Hodge分解を構成する方法についての従来の結果を整理し、より改良された形で述べることに成功した。これにより、具体的に与えられたベクトル場について、この種の分解を用いた解析がある条件のもとで可能になった。特に、各点で直交する分解があればLyapunov関数が構成できるため，平衡点などの安定性を調べることができる。さらに、去年度までに得られた成果を国内外の学会などで発表した。