幾何学的特性をもつ変数係数楕円型方程式の解の定性的性質とその応用

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度は本研究課題のとりまとめとして, 昨年度の結果の一般の非コンパクトな Riemann 多様体への拡張と放物型方程式の解のダイナミクスへの応用を目標に研究を開始した. しかし, 目標の解決のためには, 基礎となるユークリッド空間における結果が不足していたため, 本年度は主にユークリッド空間上の重み付き半線形楕円型方程式の解の定性的性質に関して研究を展開し, 次の二点に関して結果を得た: （A）解の安定性に関する特徴付け; （B）正値動径対称解の族がなす層構造. 以下, それぞれの研究成果を説明する.(A) については, 非自明安定解の非存在について焦点を当てて研究を行った. 特に, 松隈方程式等の重みとして少なくとも一方向で速い減衰レートをもつ関数を採用した半線形楕円型方程式に対し, 方程式の非線形項の指数が重み関数の無限遠方における減衰レートに依存したある指数より小さい場合に, 非自明安定解が存在しないことを示した. 本研究は, 10月に Albert Farina 教授（ピカルディ・ジュール・ヴェルヌ大学, フランス）を訪ねた際に行った共同研究に基づく.(B）に関しては, 重み付き半線形楕円型方程式の一つである松隈方程式をモデルケースに, 方程式の正値動径対称解の族がなす層構造について研究を行った. 既に, 松隈方程式については非線形項の指数が Joseph-Lundgren 指数以上の場合に, 正値動径対称解の族が層構造をなすことが知られている. 一方で, 本研究では, 松隈方程式の正値動径対称解の族に対して, Joseph-Lundgren 指数が層構造の成立に関する臨界指数となることを証明した. 具体的には, 非線形項の指数が Joseph-Lundgren 指数より小さい場合に, 互いに交差する正値動径対称解の組が存在することを示した.