Study of quantum walks on digraphs and structure determination of digraphs by eigenvalues

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当該年度も多くの研究業績を残すことができた。量子ウォークの周期性を研究するにあたり、代数的整数論だけでなく、体論やガロア理論も有用であることが分かったことが大きい。体論やガロア理論の基礎的な知識を補填し、代数的グラフ理論の基本的な事実と組み合わせることで「周期が 2*奇数 の Grover walk を誘導する正則グラフが多くの場合サイクルグラフに限られる」ことを明らかにした。周期がひとつ決まると、discriminant と呼ばれる、正規化した隣接行列が持つべき固有値が明示的に決定される。このとき、固有値の重複度の情報が、代数的数のQ上共役を調べることで明らかにされる。このことに注目し、代数的数のQ上共役を体の対称性、つまりガロア群を調べることで明らかにした。また、当該年度はガロア理論と体論を用いた研究だけでなく、strongly walk regular graph と呼ばれるグラフクラスの周期性も研究した。こちらについては、綺麗な結果は得られていないが、コンピュータを用いて周期性をもつグラフの固有値のリストを列挙することに成功した。現在は、コンピュータを用いて得られた固有値のリストを実現するグラフの存在性について議論している。