可換環論：非Gorenstein Cohen-Macaulay環論の展開

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本年度は，下記課題（１），（２）についてそれぞれ成果を挙げた。（１）環のstrictly closed性に関する成果である。環のstrict closureは1971年にJ. Lipmanによって導入され，Arf環との関係性が明らかにされていたが，一部の1次元の環上を除いてはその構成法や性質が深く議論されたことはなかった。本研究では，1次元に限らず一般次元の可換環上でstrict closureの性質や構成方法を考察し，基礎環の構造とstrict closureの関係性を記述した。特に，環がstrictly closedになる十分条件を複数提示し，既存の環構造の中からstrictly closedな環構造を数多く発見している。また，1次元の場合の構成方法についても先行研究を精査し，既存の手法とは異なる新たな構成法を発見した。（２）1次元Arf環上のイデアル及び加群の構造に関する研究である。Arf環に関しては，Lipmanの研究により整閉イデアルの構造による特徴付けが成されていたが，加群の構造に関しては未着手であった。本研究では，Arf環内の整閉イデアルの同型類が階数1のreflexive加群と一致していることを示し，さらに全ての階数を持つreflexive加群は整閉イデアルの直和に分解できることを示している。また，この結果を用いることで，Arf整域上の特殊な加群圏の分類に成功している。本研究成果は，局所化を通して一般次元のstrictly closedであるCohen-Macaulay環上へ拡張することが期待できる。