Weakly Arf環論の展開

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本年度は，一般次元における環のstrict closureの有限生成性に関する成果を挙げた。前年度までの研究により，環の次元が１の場合には，strict closureの有限生成性は基礎環の完備化の冪零根基が２乗で消えることで特徴付けられることが判明していた。一般次元の場合には，strict closureが有限生成であるときは基礎環の冪零根基が２乗で消えることがわかっていたが，本年度の研究でその逆が部分的に成り立つことが判明した。この結果より，特に基礎環が優秀環であるときには，基礎環の冪零根基の条件でstrict closureの有限生成性を特徴付けることができる。これは，よく知られている整閉包の有限生成性の特徴付けと並行する主張となっており，一般次元においてもstrict closureが整閉包に準ずる良い構造をもった拡大環であることを示している。今後の研究では，超曲面環や正標数の環といったより具体的な環構造について，有限生成であるstrict closureを計算し，その構造を調べる予定である。また，基礎環が１次元Cohen-Macaulay局所環でstrict closureが有限生成である場合，神代真也氏との共同研究によりstrict closure上の正の階数を持つreflexive加群は全て決定することができている。一般次元の場合についても同様の構造がないか考察する。