制御問題に由来する非線形偏微分方程式系の弱KAM理論を用いた数学解析

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本年度では、（テーマ1）平均場ゲーム理論における割引消去問題、（テーマ2）ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式系の解の長時間挙動の解析に取り組んだ。それぞれの概要を以下で述べる。（テーマ1）平均場ゲーム理論に現れる1階の非線形偏微分方程式系について、Cardaliaguet氏およびGraber氏によって提案された弱解理論の枠組みで割引消去問題に取り組んだ。前年度の取り組みによって、割引近似の解が部分列を選ぶことで収束することが確かめられた。一方、この極限問題の弱解は多重性を有し、この収束が部分列に依存しているのか否かは非自明である。この課題に対して得られた成果として、任意の収束部分列の極限が満たすべき条件を導出した。これを用いて、点列全体として１つの極限に収束するような非自明な具体例を与えた。さらに関連する話題として、粘性解理論の観点で極限問題の解構造に着目し、解の比較定理を示した。（テーマ2）ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式系の初期値問題の粘性解の長時間挙動の解析に取り組んだ。近年の先行研究により、この初期値解は一定の条件の下では部分列に依らず収束することが明らかになった。一方で極限問題は多重解を有しているため、その極限は与えられた初期値に依存し得る。本年度では、初期値と長時間極限との関係について考察した。得られた成果として、連立系の場合に一般化したマザー測度と初期値を用いて、解の長時間極限の定性的な表現公式を得た。