ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式に対する漸近問題の確率論的研究

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本年度は,時間発展を持つ1階および2階のハミルトン・ヤコビ・ベルマン(HJB)方程式に対する解の長時間挙動を研究した.1階のハミルトン・ヤコビ方程式に関しては,石井仁司氏(早稲田大学)との共同研究において,方程式の解が漸近解と呼ばれる一種の定常状態へ収束するための十分条件を,ハミルトニアンが凸かつ強圧的な場合について考察した.具体的には,ハミルトニアンの凸性に基づく解の変分公式,ないしは最適制御問題を用いた解釈を積極的に用いることにより,解の長時間挙動に関する詳細な情報を,背後にある力学系的な性質を見ることで解析した.これにより,既存の結果のほぼすべてが我々の結果の特別な例として捉えられるだけでなく,従来扱うことの出来なかったいくつかのケースについても,新しい結果を得ることができた.一方,2階のHJB方程式に対する漸近問題については,1階の方程式と類似の性質を持つ反面,方程式の性質としては異なるところも多い.従って,既存の結果をもとに,1階の方程式で行った議論がどこまで通用するのかを検討した.その際,この分野の専門家であるAcademia SinicaのS.J.Sheu教授を訪問し,1階の方程式との関連性に関して有益な議論することができた.これにより,2階のHJB方程式に関する研究を発展させていくための一定の方向性を得ることができた.これらの成果は,下記の雑誌論文において公表され,国内外のセミナー・研究集会においても口頭発表された(研究発表欄参照).