非線形ポテンシャル論と幾何構造の関わり

本年度は引き続きSierpinski carpet上のp-エネルギー及び対応する(1,p)-Sobolev空間の構成に関する研究を行った。特に、「pがAhlfors正則等角次元以下の値」である場合のSierpinski carpet上の(1,p)-Sobolev空間の正則性（連続関数との共通部分が一様ノルムについて連続関数の中で稠密になること）について、共同研究者であるMathav Murugan氏の所属であるUniversity of British Columbiaに合計で約90日間滞在することで議論を行い、平面Sierpinski carpetの場合に限れば然るべき(1,p)-Sobolev空間とp-エネルギーが構成できることを証明した。この結果については、現在共同研究として論文を執筆中である。昨年度の結果で、既に学術誌に投稿中であった「pがAhlfors正則等角次元より真に大きい場合」の構成の結果についても、改訂の過程でBarlow-Bassの意味での一般化Sierpinski carpetという枠組みへの拡張を行った。改訂版では、非線形性から生じる技術的理由により、「p-walk次元が真にpより大きくなる」という結果のみ平面性を仮定している。平面性を課さない一般の場合については、現在論文を執筆中である梶野直孝氏との共同研究の応用として示される予定である。p-エネルギーの構成に主軸を変更したこともあり、本研究課題の主題であったSierpinski carpet graphのparabolic indexに関する問題について取り組む時間を確保することができなかったが、Murugan氏との共同研究で「曲線族のmodulus」の扱いについて新たな知見を得ることができ、parabolic indexにも応用できるのではないかという感触を得た。

本年度は引き続きSierpinski carpet上のp-エネルギー及び対応する(1,p)-Sobolev空間の構成に関する研究を行った。特に、「pがAhlfors正則等角次元以下の値」である場合のSierpinski carpet上の(1,p)-Sobolev空間の正則性（連続関数との共通部分が一様ノルムについて連続関数の中で稠密になること）について、共同研究者であるMathav Murugan氏の所属であるUniversity of British Columbiaに合計で約90日間滞在することで議論を行い、平面Sierpinski carpetの場合に限れば然るべき(1,p)-Sobolev空間とp-エネルギーが構成できることを証明した。この結果については、現在共同研究として論文を執筆中である。昨年度の結果で、既に学術誌に投稿中であった「pがAhlfors正則等角次元より真に大きい場合」の構成の結果についても、改訂の過程でBarlow-Bassの意味での一般化Sierpinski carpetという枠組みへの拡張を行った。改訂版では、非線形性から生じる技術的理由により、「p-walk次元が真にpより大きくなる」という結果のみ平面性を仮定している。平面性を課さない一般の場合については、現在論文を執筆中である梶野直孝氏との共同研究の応用として示される予定である。p-エネルギーの構成に主軸を変更したこともあり、本研究課題の主題であったSierpinski carpet graphのparabolic indexに関する問題について取り組む時間を確保することができなかったが、Murugan氏との共同研究で「曲線族のmodulus」の扱いについて新たな知見を得ることができ、parabolic indexにも応用できるのではないかという感触を得た。