数論的Chern-Simons理論の多角的探求

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1980年代以降、量子不変量に代表される数理物理的な手法が3次元位相幾何学に導入され、大きな発展が起きた。この発展に基き、Minhyong Kim 氏は数論的Chern-Simons理論を創始し、ゲージ群が有限またはp進の場合にChern-Simons不変量の数論類似を構成した。本研究の目的は、数論的Chern-Simons理論を様々な視点から探究し、その数論的意味をより明らかにすることである。令和4年度は 主に「(2+1)次元 TQFTと共形場理論の関係」の数論類似を追求する研究を行った。具体的な研究実施状況は次の通りである。(1) 任意の数体に対して数論的Dijkgraaf-Witten不変量を定義し、ある実二次体での計算公式を与えた結果をまとめた単著論文『H. Hirano, On mod 2 Dijkgraaf-Witten invariants for certain real quadratic number fileds』がOsaka J. Mathに受理された。(2) Junhyeong Kim氏、森下 昌紀氏らとの共同研究において、(2+1)次元 Dijkgraaf-Witten TQFTの数論類似を構成し、種々の性質、張り合わせ公式を示した結果をまとめた共著論文『H. Hirano, J. Kim, M. Morishita, On arithmetic Dijkgraaf-Witten theory』がCommunications in Number Theory and Physicsに受理された。(3) (1),(2)の結果をまとめた学位論文『H.Hirano, Arithmetic Dijkgraaf-Witten Theory for Number rings』を執筆し、博士(数理学)の学位を取得した。(4) Brylinski-McLaughlinらが Dijkgraaf-Witten TQFTと共形場理論の関係に基き構成した、ある状態空間に関して、彼ら自身が提示した問に解答を与え、その数論類似を構成した。この結果について、単著論文『H. Hirano, Brylinski-McLaughlin's state space and its arithmetic analogue』を準備中である。(5) metaplectic理論と共形場理論の類似を追究するため、必要な予備知識の学習を行った。