Quasisymmetric Analisys on Metric Spaces

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本研究は擬対称変形と呼ばれる距離の比を緩やかに保つ同相変形を通して、複雑な構造を持つ距離空間の解析を行うことを目的とする。具体的な課題としては(A):ラプラシアンのスペクトル次元とAhlfors正則共形次元(以下、AR-C次元)の比較の拡張: AR-C次元とラプラシアンのスペクトル次元の比較について、それが可能である距離・測度の条件を抵抗形式の理論により求める。(B):他の解析的変量、例えばディリクレ形式のマルチンゲール次元の、AR-C次元等の擬対称不変量による評価。(C):離散系、特にランダムグラフに対しAR-C次元とスペクトル次元の比較条件の定式化。の3項目を挙げた。令和4年度においては、(1)前年度に得られた、上スペクトル次元\bar{d_s}に対する不等式dim_AR(X,d)≦\bar{d_S}<2についての結果及び木上(2020)の意味での“2-スペクトル次元”の確率論的意味づけについての結果を基本とした上で、令和2年度に発見していた通常の意味でのスペクトル次元d_sについてdim_AR(X,d)<d_s<2となるような例をこの結果の枠組みに合うように修正し、合わせて論文としてまとめた。（後者について、既に与えていた例は無限グラフを用いて記述されるが、これをコンパクトなフラクタルの設定に書き直したため、マクロで成り立っていた例がミクロでも同様の挙動を示していることを確認したことになる。）(2)過年度に示した課題(A)(B)の基礎づけとなる距離空間の分割構造に関する結果について、発表や他研究者との議論を通してその応用を探った。現在関連する実関数論の結果や距離空間の収束に関する視点などいくつかの有用な示唆が得られている。