A study of the structure of inner projections of projective varieties and its applications

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本研究の目的は，射影多様体の点線形射影の構造について，理論的な考察と計算機代数の手法による計算により具体的な例を集めることで，一般の線形射影と特殊なものを，不変量などを用いて特徴づけることである．研究を継続してきた，セグレローカスと二重点因子に注目する．点線形射影が射影多様体とその像の双有理写像を，通常と違い引き起こさないとき，射影の中心点を非双有理中心点と呼び，多様体の外にある非双有理中心点の全体を外セグレローカス，多様体の非特異点である非双有理中心点の全体を内セグレローカスと呼ぶ．他方，射影多様体を超曲面と双有理となるように線形射影したときの，多様体上の分岐因子を二重点因子と呼ぶ．2022年度は，線形射影，二重点因子に関するこれまでの研究結果が，正標数の場合にどこまで拡張できるかに重点を置いて研究した．特に，正標数ではあるが標数0として扱えると考えられる，定義体の標数pと射影多様体の次数dがp>dを満たす場合を考察した．これをもとに，計算機代数上での計算につなげることを目標とした．セグレローカスの線形性は先行研究で定義方程式を調べる方法で既に示されているが，元々のセグレの方法を検討し別証明をまず得た．更に，セグレローカスを持つ射影多様体の構造の特徴づけとその分類についても，上記の条件を満たせば標数0の場合と同様の結果が成立することが証明できた．これらのまとめと応用の研究は現在検討中であり，標数0とは違いが生じる場合の研究は今後の課題である．他方で，これまで行ってきた「Segre loci of scrolls over curves」に関して，セグレローカスをもつスクロールを構成し，その定義方程式を与え，論文としてまとめた．これらをもとに，与えられた多様体の定義方程式からセグレローカスと二重点因子に関する不変量を具体的に計算することは，2023年度の課題となった．