射影多様体のイニシャルイデアルと埋め込みの研究

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射影多様体のCastelnuovo-Mumford regularityは,定義方程式,generic initial idealの生成元の次数,ヒルベルト関数などに関係する重要な不変量である.他方,regularityと多重割線の間には密接な関係があることが期待されている.本年度もこの観点から,射影多様体の埋め込みの幾何学的な性質である多重割線,多重割空間に重点をおいて研究を行った.余次元がe,既約なd次数,切断面種数gであり,irregurality qが0の非特異射影多様体の多重割線の交点数の上限は,d-e+1-gであることが昨年度までの結果からわかっているので,この上限を満たす射影多様体と割線を分類することを一つの目標に研究した.その結果,線形射影の言葉で,割線が存在するための特徴づけを与えた.これにより,g=1の場合の分類を,完全に記述することができた,さらに,この考察に基づいて,linearly normalな曲面には,割線は,2-secant lineか,曲面に含まれる直線以外にないこと,また,曲面上の点からの線形射影の像の上に,直線がどのようにできるかを観察することができた.これによって,q=0の射影曲面上のvery ample line bundle Lに対して,blowing-upされた曲面上のL(-E_1-...-E_m)の形のline bundleがいつ再びvery ample line bundleになるかの必要十分条件をblowing-upの中心点の配置の言葉で書き下すことができた.ただし,E_jは例外曲線を表す.これによって,切断種数g=2,3の射影曲面の分類のうちで,未確定であった曲面の分類を得た.これをもとに,g=2,3の曲面の多重割線を分類できることが期待できる.平行して行なった,一般の射影曲線のCastelnuovo-Mumford regularityのより厳密な評価の研究は,現在も継続中である.