Approach to geometric crystals and cluster algebras from crystal base theory

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本研究の目的である幾何結晶、クラスター代数の理論の結晶基底からのアプローチについて、まず、C型結晶基底の単項式表示による積の分解公式を記述することに成功した。この研究の概要については、まず、単項式の積が再び決結晶の構造を保つことを示し、それらが結晶として分解することを示し、最後に、分解公式を明示的に与えた。また、幾何結晶におけるBerenstein-Kazhdan ポテンシャルに関係する一般化された小行列式の結晶基底の単項式表示による記述について、共同研究者らと新しいアルゴリズムを発見し、最初の論文が出版された。また、より一般化された結果についてもsageなどの数式処理プログラムなどを利用して実証し、現在、論文を投稿し審査中である。この新しいアルゴリズムも過去に行った研究成果を進展させたもので、純粋に組合せ論的なものであるが、既存の結晶基底における柏原作用素の新しい記述とも考えられる。新しく進展したものとしてquiver hecke 代数の有限次元加群の局所化による圏化の理論を応用して定義された局所化された量子群の結晶基底についての結果がある。この研究では、まずquiver hecke 代数の有限次元加群の局所化による圏の単純対象の全体に結晶構造を定義し、さらにその結晶とcellular 結晶との間に具体的な同型を与えた。論文は現在、投稿し審査中である。アファイン型の幾何結晶については、タイ人研究者との共同研究を開始したが、現在まで大きな進展は見られていないが、古典型r-行列が利用できないか検討中である。また、Berenstein-Kazhdan ポテンシャルのアファイン版について定義を考え、アファイン型にもBerenstein-Kazhdan の手法の類似が展開できないかと予想している。