Approach to geometric crystals and cluster algebras from crystal base theory

从晶体基础理论探讨几何晶体和簇代数

• 批准号: 20K03564
• 负责人: 中島 俊樹
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Sophia University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03564/
• 关键词: 結晶基底; 幾何結晶; クラスター代数; 局所化された量子群; 圏化; クイバーヘッケ代数; 一般化された小行列式; ポテンシャル; 単項式表示; potential; tropicalization

本研究の目的である幾何結晶、クラスター代数の理論の結晶基底からのアプローチについて、まず、C型結晶基底の単項式表示による積の分解公式を記述することに成功した。この研究の概要については、まず、単項式の積が再び決結晶の構造を保つことを示し、それらが結晶として分解することを示し、最後に、分解公式を明示的に与えた。また、幾何結晶におけるBerenstein-Kazhdan ポテンシャルに関係する一般化された小行列式の結晶基底の単項式表示による記述について、共同研究者らと新しいアルゴリズムを発見し、最初の論文が出版された。また、より一般化された結果についてもsageなどの数式処理プログラムなどを利用して実証し、現在、論文を投稿し審査中である。この新しいアルゴリズムも過去に行った研究成果を進展させたもので、純粋に組合せ論的なものであるが、既存の結晶基底における柏原作用素の新しい記述とも考えられる。新しく進展したものとしてquiver hecke 代数の有限次元加群の局所化による圏化の理論を応用して定義された局所化された量子群の結晶基底についての結果がある。この研究では、まずquiver hecke 代数の有限次元加群の局所化による圏の単純対象の全体に結晶構造を定義し、さらにその結晶とcellular 結晶との間に具体的な同型を与えた。論文は現在、投稿し審査中である。アファイン型の幾何結晶については、タイ人研究者との共同研究を開始したが、現在まで大きな進展は見られていないが、古典型r-行列が利用できないか検討中である。また、Berenstein-Kazhdan ポテンシャルのアファイン版について定義を考え、アファイン型にもBerenstein-Kazhdan の手法の類似が展開できないかと予想している。

The purpose of this study is to describe the decomposition formula of the product of the single term expression of the geometric crystal, crystal algebra theory and crystal base. The summary of this research includes the following: the product of a single term, the structure of a crystal, and the structure of a crystal. Berenstein-Kazhdan complex relationships in geometric crystallization are generalized and described in terms of small determinant crystal bases. Co-investigators are newly discovered and the original paper is published. The result of generalization is that the number of applications is used to verify, present and submit papers. The new research results of the past research progress, pure combination theory, existing crystal substrate, new description of the original action element New developments in finite dimensional additive groups of quantum algebras and their application to the definition of finite dimensional additive groups of quantum algebras This study is based on the definition of crystal structure, crystal structure and cellular structure of finite dimensional additive groups of quiver hecke algebras. The paper is now in the process of submission review. The geometric crystallization of the classical r-array is discussed in detail. Berenstein-Kazhdan technique is similar to Berenstein-Kazhdan technique.

项目成果

Adapted sequence for polyhedral realization of crystal bases

• DOI: 10.1080/00927872.2020.1770274
• 发表时间: 2019-04
• 期刊: Communications in Algebra
• 影响因子: 0.7
• 作者: Yuki Kanakubo;Toshiki Nakashima

An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for minuscule representations

Berenstein-Kazhdan 装饰函数和微小表示轨迹的算法

• DOI: 10.1016/j.jalgebra.2022.04.042
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Algebra
• 影响因子: 0.9
• 作者: 加戸瞭介;武田裕司;梅田聡;Nakashima T. (with Kanakubo Y. and Koshevoy G.)
• 通讯作者: Nakashima T. (with Kanakubo Y. and Koshevoy G.)

International Lab. Mirror Symmetry(ロシア連邦)

国际镜像对称实验室（俄罗斯联邦）

Adapted sequences and polyhedral realizations of crystal bases for highest weight modules

针对最高重量模块的晶体基座的调整序列和多面体实现

• DOI: 10.1016/j.jalgebra.2021.01.016
• 发表时间: 2021
• 期刊: Journal of Algebra
• 影响因子: 0.9
• 作者: Ryoichi Kuwano;Makoto Hino;Norihito Nagata;Kazuya Nagata;Tsuyoshi Tokunaga;Toshihiko Koga;Nathan Hagen;Yukitoshi Otani;Toshiki Nakashima with Yuki Kanakubo
• 通讯作者: Toshiki Nakashima with Yuki Kanakubo

Categorified Crystal structure on Localized qunatum coordinate ring

定域量子坐标环上的分类晶体结构

• 发表时间: 2022
• 作者: Takafumi Miyazaki;Toshiki Nakashima with Manal Alshuqayr;中島 俊樹;中島 俊樹
• 通讯作者: 中島 俊樹