Topology of the embedding spaces and the finite type invariants

点击翻译按钮获取中文摘要

前年度に引き続き，埋め込みのなす空間，特にn次元Euclid空間内のlong knotと呼ばれるタイプの埋め込みの空間K_nについて，その位相幾何学的性質を，Vassiliev不変量との関連を意識した立場から調べた．2021年度は，加納早貴氏との共同研究により，ある非3価グラフコサイクルに付随した配置空間上の積分によって得られるK_3の1次微分形式をFox-Hatcher (FH) サイクル上で積分することにより，3次のVassiliev不変量が得られることを示していた．2022年度はこの成果をさらに詳細に見直すことで，defect 1のグラフコサイクル（非3価グラフのうち退化の度合いが最も小さいもの）が任意に与えられたとき，そのFHサイクル上での積分がいつもVassiliev不変量を与えることを見出した．これはK_3に関する結果だが，コサイクルのサイクル上での積分の計算については一般のK_nの場合にも同様である．非3価グラフコサイクルがK_nの非自明なコホモロジー類を与えるかどうかは一般には知られておらず，いくつかの散発的な例が知られているに留まるが，defect 1のグラフに対しては非自明性の証明に見通しが立ちつつある．またFHサイクルはK_nのホモロジー上定義されるBatalin-Vilkovisky (BV) 作用素とも関連があり，本研究の成果はBV作用素の非自明性の証明にもつながるものと考えられる．研究代表者の過去の研究ではGramainサイクル上でのコサイクルの積分とVassiliev不変量を関連づける例も与えられているが，上記の結果においてFHサイクルをGramainサイクルに置き換えた形で同様の成果も与えることができた．