高階パンルヴェ方程式のStokes幾何とインスタントン解の構造解析

高阶Painlevé方程的Stokes几何和瞬子解的结构分析

• 批准号: 20K03637
• 负责人: 梅田 陽子
• 金额: $ 2.25万
• 依托单位: Josai University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03637/
• 关键词: 完全WKB解析; ストークス現象; 高階パンルヴェ方程式; インスタントン解; Stokes幾何; パンルヴェ階層; 野海・山田方程式系; 野海山田方程式; 特異摂動の代数解析

今年度は,研究目標に挙げている「Lax対をもつ非線形方程式のStokes幾何」の研究に重点を置いた. 高階パンルヴェ方程式のStokes幾何は非常に複雑であるが,4種類のパンルヴェ階層(PJ)m (J=I,II,IV,34)のStokes幾何とその付随するLax対のStokes幾何の間に共通構造（非線形の変わり点,Stokes曲線上の点で,対応するLax対のStokes幾何に退化現象が観測される)が成立する.更にこの構造は,パンルヴェ階層の解の接続問題の記述において重要な役割を果たす.「この共通構造はLax対をもつ非線形方程式が持つ普遍的性質であるか?」という問題に対し,必然的に現れる退化であると予想している．今年度は，その退化（変わり点の合流, ストークス曲線の縮退現象)の数学的背景を解明するために,4次元パンルヴェ方程式にlarge parameterを導入し,Lax対ならびに非線形の変わり点の計算を進めた.計算途中の段階だが, 変わり点同士の縮退現象について,先行研究で4種類のパンルヴェ階層に対して確かめた現象と同じ現象が起きる例を得ており,計算自体は順調である.しかし具体例を得ている段階で，統一的視点での代数構造の記述まで進められなかった.行った計算に対しても,整理が必要である．また, 2022年度秋季総合分科会(函数解析分科会特別講演) において,タイトル「A unified family of PJ-hierarchies(J=I,II,IV,34) with a large parameter」で研究成果の発表を行った．

This year, the research goal is to focus on the study of Stokes geometry for nonlinear equations. The Stokes geometry of the higher order equations is very complex, and the four classes of Stokes geometry (PJ)m (J=I,II,IV,34) are associated with the common structure of Stokes geometry (non-linear points, points on Stokes curves, and degenerate phenomena of Stokes geometry). Furthermore, the structure of the structure is described in detail in the paper. "The common structure of this equation is Lax. It is a non-linear equation. It is a universal property." The problem is inevitable. The mathematical background of this year's regression (convergence of points, contraction of curves) is explained in detail. In the calculation process, there are four kinds of classes, which are studied in advance, and there are four kinds of classes. A concrete example of this is the description of algebraic structure from a unified viewpoint. It is necessary to organize the work. "A unified family of PJ-hierarchies(J=I,II,IV,34) with a large parameter" was presented at the Autumn 2022 General Science Conference (Special Lecture of Function Analysis Conference).

项目成果

A unified family of PJ-hierarchies (J=I,II,IV,34) with a large parameter

具有大参数的统一 PJ 层次结构族 (J=I,II,IV,34)

• 发表时间: 2022
• 作者: 梅田陽子

多重スケール解析によるインスタントン解構成法

使用多尺度分析的 Instanton 解构造方法

• 发表时间: 2022
• 作者: Kim Daehong;Matsuura Masakuni;梅田陽子
• 通讯作者: 梅田陽子